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解：原式$=(p-q)^{2m-1}[(p-q)^2-1]$

$=(p-q)^{2m-1}(p-q+1)(p-q-1)$

解：原式$=2a[a^2-4(a+1)^2]$

$=2a[a^2-(2a+2)^2]$

$=2a(a+2a+2)(a-2a-2)$

$=2a(3a+2)(-a-2)$

$=-2a(3a+2)(a+2)$

解：令$x^2-2x=t$，

则原式$=(t-2)(t+4)+9$

$=t^2+2t-8+9$

$=t^2+2t+1$

$=(t+1)^2$，

即原式$=(x^2-2x+1)^2=(x-1)^4$

解：$(1)$因为$a^2-ab-ac+bc=0$，

所以$a(a-b)-c(a-b)=0$，

即$(a-b)(a-c)=0$，

所以$a=b$或$a=c$，

故$△ ABC$是等腰三角形。

$ (2) $因为$a^2+2b^2+c^2-2b(a+c)=0$，

所以$a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2=0$，

即$(a-b)^2+(b-c)^2=0$。

$ $因为$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，

所以$a-b=0$且$b-c=0$，即$a=b=c$，

故$△ ABC$是等边三角形。

$ a^6-1=(a-1)(a^5$

$+a^4+a^3+a^2+a+1)$

$ a^7+1=(a+1)(a^6-a^5+a^4-a^3$

$+a^2-a+1)$

$728$

$547$

解：$(3)$原式$=4^{10}+2^{10}+4^9-2^9+4^8+2^8$

$+4^7-2^7+\dots +4^2+2^2+4$

$ =(4^{10}+4^9+4^8+4^7+\dots +4^2+4+1)$

$+(2^{10}-2^9+2^8-2^7+\dots +2^2-2+1)-2+4$

$ =\frac {1}{3}(4-1)(4^{10}+4^9+4^8+4^7+\dots +4^2+4+1)$

$+\frac {1}{3}(2+1)(2^{10}-2^9+2^8-2^7+\dots +2^2-2+1)+2$

$ =\frac {1}{3}(4^{11}-1)+\frac {1}{3}(2^{11}+1)+2$

$ =\frac {1}{3}×4^{11}+\frac {1}{3}×2^{11}+2$

$ 1($或$-\frac {5}{6})$

$ x-1($或$6x+5)$

$(x-1)(6x+5)$

解$： (2) ①$当$x=-1$时，$2x^2+5x+3=0$，

设$2x^2+5x+3=(x+1)(mx+n)$，

解得$m=2$，$n=3$，

故$2x^2+5x+3=(x+1)(2x+3)$。

$ ②$当$x=1$时，$x^3-7x+6=0$，

设$x^3-7x+6=(x-1)(x^2+mx+n)$，

展开得$x^3+(m-1)x^2+(n-m)x-n$，

对比系数得$\begin {cases}m-1=0\\n -m=-7\\-n=6\end {cases}$，

解得$m=1$，$n=-6$，

则$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$，

故$x^3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)$。

$ (3) $设$x^3-x^2+ax+b=(x^2+2x+1)(x+m)$，

展开得$x^3+(m+2)x^2+(2m+1)x+m$，

对比系数得$\begin {cases}m+2=-1\\2m+1=a\\m =b\end {cases}$，

解得$m=-3$，$a=-5$，$b=-3$。

$ $则多项式因式分解为$x^3-x^2-5x-3$

$=(x^2+2x+1)(x-3)=(x+1)^2(x-3)$。