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$4$
$3$
$-5\sqrt{2}$
解：原式​$=6\sqrt {xy}+3\sqrt {xy}-4\sqrt {xy}-6\sqrt {xy}$​
​$ =-\sqrt {xy}$​
​$ $​当​$x=\sqrt {6}+\sqrt {2}$​，​$y=\sqrt {6}-\sqrt {2}$​时，
​$ xy=(\sqrt {6}+\sqrt {2})(\sqrt {6}-\sqrt {2})=6-2=4$​
​$ $​原式​$=-\sqrt {4}=-2$​
解：$∵4x^2+y^2-4x-6y+10=0$
$∴(2x-1)^2+(y-3)^2=0$
$∴2x-1=0，$$y-3=0$
解得$x=\frac{1}{2}，$$y=3$
原式$=(\frac{2}{3}x\sqrt{9x}+y^2\sqrt{\frac{x}{y^3}})-(x^2\sqrt{\frac{1}{x}}-5x\sqrt{\frac{y}{x}})$
$=2x\sqrt{x}+\sqrt{xy}-x\sqrt{x}+5\sqrt{xy}$
$=x\sqrt{x}+6\sqrt{xy}$
当$x=\frac{1}{2}，$$y=3$时，
原式$=\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{1}{2}}+6×\sqrt{\frac{1}{2}×3}$
$=\frac{\sqrt{2}}{4}+3\sqrt{6}$
解：由$y=\sqrt{x-8}+\sqrt{8-x}+18，$得
$\begin{cases}x-8≥0\\8-x≥0\end{cases}，$解得$x=8，$则$y=18$
化简$M$：
$M=\frac{x+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{2xy}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}$
$=\frac{x+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{2xy}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}$
$=\frac{(x+y)\sqrt{xy}-2xy}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}$
$=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}$
$=\sqrt{x}-\sqrt{y}$
代入$x=8，$$y=18，$$M=\sqrt{8}-\sqrt{18}=2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=-\sqrt{2}$
化简$N$：
$N=\frac{3\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}+\sqrt{y-x}}$
代入$x=8，$$y=18，$
$N=\frac{3\sqrt{8}-2\sqrt{18}}{\sqrt{8+18}+\sqrt{18-8}}=\frac{6\sqrt{2}-6\sqrt{2}}{\sqrt{26}+\sqrt{10}}=0$
$∵-\sqrt{2}＜0，$即$M＜N$
$∴$乙同学的说法是正确的
解：∵​$\sqrt {2a+3}$​与​$\sqrt {5}$​能合并，
∴​$\sqrt {2a+3}=m\sqrt {5}(m $​为正整数​$)$​
∴​$2a+3=5\ \mathrm {m^2}$​
∴​$a=\frac {5\ \mathrm {m^2}-3}{2}$​
又∵​$a$​为正整数，
∴​$5\ \mathrm {m^2}-3$​为偶数，
∴​$m $​为正奇数
​$ $​当​$m=1$​时，​$a=\frac {5×1^2-3}{2}=1$​；
​$ $​当​$m=3$​时，​$a=\frac {5×3^2-3}{2}=21$​；
​$ $​当​$m=5$​时，​$a=\frac {5×5^2-3}{2}=61$​；
∴满足条件的​$a$​的值可以为​$1，21，61$​
​$($​也可取​$m $​为其他正奇数，得出不同的答案）
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