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解$：(1)$设$x^2+x=y$，

则原式$=(y-4)(y+3)+10$

$=y^2-y-2$

$=(y-2)·(y+1)$

$=(x^2+x-2)(x^2+x+1)$

$=(x+2)(x-1)(x^2+x+1)$。

解$：(2)$设$x^2+6=m$，

则原式$=(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)+x^2$

$=(x^2+6+7x)(x^2+6+5x)+x^2$

$=(m+7x)(m+5x)+x^2$

$=\mathrm {m^2}+12xm+35x^2+x^2$

$=\mathrm {m^2}+12xm+36x^2$

$=(m+6x)^2$

$=(x^2+6x+6)^2$。

解$：(3)$设$x+y=m$，$xy=n$，

则原式$=(m-2n)(m-2)+(n-1)^2$

$=\mathrm {m^2}-2m-2mn+4n+n^2-2n+1$

$=\mathrm {m^2}-2m-2mn+n^2+2n+1$

$=\mathrm {m^2}-2m(1+n)+(n+1)^2$

$=(m-n-1)^2$

$=(x+y-xy-1)^2$

$=(y-1)^2(1-x)^2$。

$0$

$(x-1)(x^2+3x+3)$

解$：(3) $∵$6x^2 - xy - 2y^2 = (2x+y)(3x-2y)， $

∴$6x^2 - xy - 2y^2 + 5x - 8y + a$可以分解为

$ [(2x+y)+c][(3x-2y)+d]， $

则$ [(2x+y)+c] · [(3x-2y)+d] $

$= 6x^2 - xy - 2y^2 + (2d+3c)x + (d-2c)y + cd，$

∴$\begin {cases}2d+3c=5， \\d -2c=-8， \\cd =a，\end {cases} $

解得$ \begin {cases}a=-6， \\d =-2， \\c =3.\end {cases}$

则$ 6x^2 - xy - 2y^2 + 5x - 8y + a $

$= 6x^2 - xy - 2y^2 + 5x - 8y - 6 $

$= [(2x+y)+3][(3x-2y)-2]$

$ = (2x+y+3)(3x-2y-2)$