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$\sqrt{58}\ \mathrm{cm}$
解：​$(1) $​如图
​$(2) $​已知​$AC=2\sqrt {5}$​，​$BC=\sqrt {5}$​，​$AB=5$​，
则​$AC^2 + BC^2 = (2\sqrt {5})^2 + (\sqrt {5})^2 = 20 + 5 = 25 = AB^2$​，
由勾股定理逆定理可知，​$△ABC$​为直角三角形，且​$∠ ACB=90°$​。
因此​$S_{△ ABC} = \frac {1}{2} · AC · BC = \frac {1}{2} × 2\sqrt {5} × \sqrt {5} = 5$​。
​$(3) $​设​$△ABC$​的边​$AB$​上的高为​$h$​，
由三角形面积公式得​$S_{△ ABC} = \frac {1}{2} · AB · h = 5$​，
代入​$AB=5$​，得​$\frac {1}{2} × 5 × h =5$​，解得​$h=2$​，
即​$△ABC$​的边​$AB$​上的高是​$2$​。
解：​$(1) $​证明：∵​$AD ⊥ BC$​，
∴​$∠ ADB = ∠ ADC = 90°$​。
在​$Rt△ ABD$​中，​$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 2^2 +1^2 =5$​，
在​$Rt△ ACD$​中，​$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 2^2 +4^2 =20$​，
又​$BC = BD + CD = 1+4=5$​，
∴​$BC^2=25$​。
∴​$AB^2 + AC^2 = 5 + 20 = 25 = BC^2$​，
由勾股定理逆定理可得，​$△ABC$​为直角三角形。
​$(2) $​分三种情况讨论：
​$① $​当​$AB=AP $​时，由​$AD ⊥ BC$​得​$DP=BD=1$​，
故​$BP=BD+DP=2$​；
​$② $​当​$AB=BP $​时，​$AB=\sqrt {AD^2 + BD^2}=\sqrt {5}$​，
故​$BP=\sqrt {5}$​；
​$③ $​当​$AP=BP $​时，设​$BP=x$​，则​$DP=x-1$​，​$AP=x$​，
在​$Rt△ ADP_{中}$​，由勾股定理得​$x^2 = 2^2 + (x-1)^2$​，
解得​$x=2.5$​。
综上，​$BP $​的长为​$\sqrt {5}$​或​$2.5$​或​$2$​。
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