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证明：​$ (1) $​∵​$CD$​的垂直平分线交​$AD$​于点​$F$​，
∴​$FC=FD$​，
∴​$∠FCD=∠D=45°$​，
∴​$∠CFD=180°-45°-45°=90°$​。
∵​$AD//BC$​，​$∠A=90°$​，
∴​$∠B=∠A=90°$​，
∴四边形​$ABCF $​是矩形，
又∵​$AB=BC$​，
∴矩形​$ABCF $​是正方形。
​$ (2) $​由​$(1)$​得​$AF=BC$​，
∵​$FC=FD$​，​$AD=AF+FD=a$​，
又∵​$AD//BC$​，
∴​$∠M=∠D$​，
​$ $​在​$△MCE$​和​$△FDE$​中，
$\begin{cases} ∠M=∠D \\ ∠MEC=∠DEF \\ CE=DE \end{cases}$
∴​$△MCE≌△FDE(\mathrm {AAS})$​，
∴​$CM=FD$​，
∴​$BM=BC+CM=AF+FD=AD=a$​，
​$ $​即​$BM=a$​。
​$ B$​
​$ A$​
​$ C$​
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