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$-2$

 解：

 (1) $\because$ 原方程有两个不相等的实数根，

 $\therefore \Delta=(-2k)^2 -4×1×(k^2 -k +1)=4k-4＞0，$

 解得$k＞1，$

 $\therefore k$的取值范围是$k＞1。$

 (2) $\because k＜5，$且$k＞1，$

 $\therefore 1＜k＜5，$整数$k$的可能取值为2，3，4。

 当$k=2$时，方程为$x^2-4x+3=0，$解得$x_1=1，$$x_2=3，$符合题意；

 当$k=3$或$k=4$时，方程的根不为整数，舍去。

 综上所述，$k$的值为2。

 解：

 (1) 证明：$\Delta=(-4m)^2 -4×1×3m^2=4m^2，$

 $\because 4m^2≥0，$即$\Delta≥0，$

 $\therefore$ 该方程总有两个实数根。

 (2) 解方程$x^2-4mx+3m^2=0，$得$x=\frac{4m\pm\sqrt{4m^2}}{2}，$

 $\because m＞0，$

 $\therefore x_1=m，$$x_2=3m。$

 由题意得$3m -m=2，$解得$m=1。$

 解：

 (1) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：

 把$x=-1$代入方程，得$a+c-2b+a-c=0，$即$2a-2b=0，$

 $\therefore a=b，$

 $\therefore △ ABC$是等腰三角形。

 (2) $△ ABC$是直角三角形，理由如下：

 $\because$ 方程有两个相等的实数根，

 $\therefore \Delta=(2b)^2 -4(a+c)(a-c)=0，$

 整理得$b^2 +c^2 =a^2，$

 $\therefore △ ABC$是直角三角形。

 (3) $\because △ ABC$是等边三角形，

 $\therefore a=b=c，$

 代入原方程得$2ax^2 +2ax=0，$

 $\because a≠0，$

 $\therefore x^2 +x=0，$解得$x_1=0，$$x_2=-1。$