(1) 证明：
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}，$
$\therefore ∠ BAC=∠ CDB。$
$\because ∠ BAC=∠ ADB，$
$\therefore ∠ CDB=∠ ADB，$即$DB$平分$∠ ADC。$
$\because BD$平分$∠ ABC，$
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD。$
$\because △ ABD$与$△ CBD$的内角和均为$180°，$
$\therefore ∠ BAD=∠ BCD。$
$\because$ 四边形$ABCD$是圆内接四边形，
$\therefore ∠ BAD+∠ BCD=180°，$
$\therefore ∠ BAD=∠ BCD=90°。$
(2) $\because ∠ BAD=90°，$
$\therefore BD$是圆的直径。
$\because ∠ ABD=∠ CBD，$
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}，$
$\therefore AD=CD。$
$\because AC=AD，$
$\therefore AC=AD=CD，$
$\therefore △ ADC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ADC=60°，$
$\therefore ∠ CDB=\frac{1}{2}∠ ADC=30°。$
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$BD=2BC。$
$\because CF// AD，$
$\therefore ∠ F+∠ BAD=180°，$
$\therefore ∠ F=90°。$
$\because$ 四边形$ABCD$是圆内接四边形，
$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°，$
$\therefore ∠ ABC=120°，$
$\therefore ∠ FBC=180°-∠ ABC=60°，$
$\therefore ∠ FCB=90°-60°=30°。$
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$BF=\frac{1}{2}BC。$
$\because BF=2，$
$\therefore BC=4，$
$\therefore BD=8。$
$\because BD$是圆的直径，
$\therefore$ 该圆的半径为$\frac{1}{2}BD=4。$
