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第85页

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$\frac{2π}{3}$

$\frac{25π}{9}$

 (1) 证明：连接OE.

 $\because$ AB是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°.$

 $\because$ CE平分$∠ ACB，$$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=45°.$

 $\because \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AE}，$$\therefore ∠ AOE=2∠ ACE=90°.$

 $\because EF// AB，$$\therefore ∠ AOE+∠ FEO=180°，$

 $\therefore ∠ FEO=90°，$$\therefore OE⊥ FE.$

 又$\because OE$是$\odot O$的半径，$\therefore EF$与$\odot O$相切.

 (2) 解：连接OG，OC.

 $\because ∠ CAB=30°，$$∠ ACB=90°，$$\therefore ∠ B=60°.$

 $\because OB=OC，$$\therefore △ OBC$为等边三角形，

 $\therefore ∠ COB=60°，$$\therefore ∠ AOC=180°-∠ COB=120°.$

 $\because EG⊥ AC，$$∠ ACE=45°，$$\therefore ∠ MEC=45°.$

 $\because \overset{\frown}{CG}=\overset{\frown}{CG}，$$\therefore ∠ GOC=2∠ MEC=90°，$

 $\therefore ∠ AOG=∠ AOC-∠ GOC=30°.$

 $\because AB=8，$AB是$\odot O$的直径，$\therefore OA=OG=4，$

 $\therefore \overset{\frown}{AG}$的长$=\frac{30π×4}{180}=\frac{2π}{3}.$

 (1) 证明：连接OP.

 $\because PA$与$\odot O$相切，$\therefore OA⊥ PA，$$\therefore ∠ OAP=90°.$

 在$△ AOP$和$△ BOP$中，

 $\begin{cases} OA=OB,\\ PA=PB,\\ OP=OP, \end{cases}$

 $\therefore △ AOP≌△ BOP(\mathrm{SSS})，$

 $\therefore ∠ OAP=∠ OBP=90°，$$\therefore OB⊥ PB.$

 (2) 解：连接BC.

 $\because$ 四边形AOBP的内角和为$360°，$$∠ OBP=∠ OAP=90°，$$∠ APB=60°，$

 $\therefore ∠ AOB=120°，$$\therefore ∠ COB=180°-120°=60°.$

 $\because OB=OC，$$\therefore △ BOC$为等边三角形，$\therefore ∠ OCB=60°.$

 $\because △ AOP≌△ BOP，$

 $\therefore ∠ AOP=∠ BOP=∠ OCB=60°，$$∠ APO=∠ BPO=30°.$

 $\because PA=PB=2\sqrt{3}，$$\therefore OP// BC，$$\therefore S_{△ PCB}=S_{△ OCB}.$

 在$\mathrm{Rt}△ OBP$中，$∠ BPO=30°，$$\therefore OP=2OB.$

 $\because OB^2+PB^2=OP^2，$$\therefore OB^2+(2\sqrt{3})^2=(2OB)^2，$

 解得$OB=2$(负值舍去).

 $\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}OCB}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}.$