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第152页

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1或$(11+6\sqrt{3})$

 解：

(1)

 ∵ AB是$\odot O$的直径，

 $\therefore ∠ ADB=90°，$

 $\therefore$ 在$△ ADB$中，$∠ ABD+∠ CAB=90°。$

 $\because ∠ CBD=∠ CAB，$

 $\therefore ∠ ABC=∠ ABD+∠ CBD=90°，$即$BC⊥ OB。$

 $\because OB$是$\odot O$的半径，

 $\therefore BC$是$\odot O$的切线。

 (2) $\because ∠ CAB=30°，$

 $\therefore ∠ DOB=2∠ CAB=60°。$

 $\because AB=4，$

 $\therefore OB=\frac{1}{2}AB=2，$

 $\therefore S_{\mathrm{扇形}OBD}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}。$

 证明：连接$OE，$$OF。$

 $\because AB⊥ CD，$

 $\therefore ∠ AOC=90°。$

 $\because OA=AE=OE，$

 $\therefore △ AOE$为等边三角形，

 $\therefore ∠ AOE=60°，$

 $\therefore \frac{360°}{60°}=6，$即弦$AE$是$\odot O$的内接正六边形的一边。

 $\because ∠ AOE=60°，$

 $\therefore ∠ EOC=90°-60°=30°，$

 $\therefore \frac{360°}{30°}=12，$即弦$CE$是$\odot O$的内接正十二边形的一边。

 易知$∠ AOF=60°，$

 $\therefore ∠ EOF=60°×2=120°，$

 $\therefore \frac{360°}{120°}=3，$即弦$EF$是$\odot O$的内接正三角形的一边。

 解：

 (1) 连接$BG。$

 $\because AB=BC=2AD=2，$

 $\therefore AD=AE=BE=BF=CF=1。$

 $\because AD// BC，$即$AD// BF，$

 $\therefore$ 四边形$ABFD$是平行四边形，

 $\therefore ∠ BFD=∠ DAB=60°。$

 $\because BG=BF，$

 $\therefore △ BFG$是等边三角形，

 $\therefore GF=BF，$

 $\therefore GF=BF=FC，$

 $\therefore$ 点$G$在以$BC$为直径的圆上，

 $\therefore ∠ BGC=90°。$

 $\because BG$为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的半径，

 $\therefore CG$为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的切线。

 (2) 过点$D$作$DH⊥ AB$于点$H。$

 $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ AHD$中，$∠ DAB=60°，$

 $\therefore ∠ ADH=30°，$

 $\therefore AH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}，$

 $\therefore DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}。$

 $\because$ 四边形$ABFD$是平行四边形，

 $\therefore DF=AB=2，$$∠ ABF=180°-∠ A=120°。$

 $\because △ BFG$是等边三角形，

 $\therefore ∠ GBF=60°，$$GF=BF=BG=1，$

 $\therefore ∠ EBG=∠ ABF-∠ GBF=60°，$$DG=DF-GF=1，$

 $\therefore S_{\mathrm{涂色部分}}=S_{\mathrm{梯形}ABGD}-S_{\mathrm{扇形}ADE}-S_{\mathrm{扇形}BEG}$

 $=\frac{1}{2}×(1+2)×\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{60π×1^2}{360}-\frac{60π×1^2}{360}$

 $=\frac{3}{4}\sqrt{3}-\frac{π}{3}。$