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$2＜AD＜10$
证明：延长​$FD$​至点​$M$​，使​$DM=DF$​，
连接​$BM$​，​$EM$​。
​$ $​在​$△BMD$​和​$△CFD$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {BD}=CD， \\∠ BDM=∠ CDF， \\DM=DF， \end {cases}$​
∴​$△ BMD ≌ △ CFD(\mathrm {SAS})$​，
∴​$BM=CF$​。
∵​$DE ⊥ DF$​，​$DM=DF$​，
∴​$DE$​垂直平分​$MF$​，
∴​$EM=EF$​。
​$ $​在​$△ BME$​中，
由三角形三边关系得​$BE+BM＞EM$​，
∴​$BE+CF＞EF$​。
证明：延长​$CE$​到点​$F$​，使​$EF=CE$​，
则​$CF=2CE$​。
∵​$CE$​是​$△ ABC$​的中线，
∴​$AE=BE$​。
​$ $​在​$△ ACE$​和​$△ BFE$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AE}=BE， \\∠ AEC=∠ BEF， \\CE=FE， \end {cases}$​
∴​$△ ACE ≌ △ BFE(\mathrm {SAS})$​，
∴​$AC=BF$​，​$∠ CAB=∠ ABF$​。
∵​$∠ ACB=∠ ABC$​，
∴​$AC=AB$​。
又∵​$CB$​是​$△ ADC$​的中线，
∴​$AB=BD$​，
∴​$AC=AB=BD=BF$​。
∵​$∠ DBC=∠ BAC+∠ ACB$​，
​$∠ FBC=∠ ABF+∠ ABC$​，
∴​$∠ DBC=∠ FBC$​。
​$ $​在​$△ DBC$​和​$△ FBC$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {DB}=FB， \\∠ DBC=∠ FBC， \\BC=BC， \end {cases}$​
∴​$△ DBC ≌ △ FBC(\mathrm {SAS})$​，
∴​$DC=CF=2CE$​，即​$CD=2CE$​。
证明：在CD上截取$JD=DE，$连接AJ。
∵DA平分$∠ CDE，$
∴$∠ ADJ=∠ ADE。$
在$△ AJD$和$△ AED$中，
$\begin{cases} JD=ED, \\ ∠ ADJ=∠ ADE, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴$△ AJD ≌ △ AED(\mathrm{SAS})，$
∴$AE=AJ，$$∠ AJD=∠ E。$
∵$AB=AE，$
∴$AB=AJ。$
∵$∠ B+∠ E=180°，$$∠ AJD+∠ AJC=180°，$
∴$∠ B=∠ AJC。$
过点A作$AI ⊥ CD$于I，$AH ⊥ BC$于H，
∴$∠ AIJ=∠ AHB=90°。$
在$△ AJI$和$△ ABH$中，
$\begin{cases} ∠ AIJ=∠ AHB, \\ ∠ AJI=∠ B, \\ AJ=AB, \end{cases}$
∴$△ AJI ≌ △ ABH(\mathrm{AAS})，$
∴$AI=AH，$$IJ=BH。$
在$\mathrm{Rt}△ AIC$和$\mathrm{Rt}△ AHC$中，
$\begin{cases} AI=AH, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ AIC ≌ \mathrm{Rt}△ AHC(\mathrm{HL})，$
∴$HC=IC。$
∴$BC+DE=BH+HC+DE=IJ+IC+JD=CD，$
即$BC+DE=CD。$
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