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C
$\sqrt{3}-1$
$\sqrt{17}$
$\frac{16}{3}$
解：延长​$AD$​至点​$E$​，使得​$ED=AD$​，连接​$CE$​。
∵​$AD$​是边​$BC$​上的中线，
∴​$BD=CD$​。
​$ $​在​$△ ABD$​和​$△ ECD$​中，
​$ \begin {cases}AD=ED，\\∠ ADB=∠ EDC，\\BD=CD，\end {cases}$​
∴​$△ ABD ≌ △ ECD$​，
∴​$AB=EC=8$​，
​$S_{△ ABD}=S_{△ ECD}$​。
∵​$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}$​，
​$S_{△ AEC}=S_{△ ECD}+S_{△ ADC}$​，
∴​$S_{△ ABC}=S_{△ AEC}$​。
∵​$AD=\frac {15}{2}$​，
∴​$AE=AD+DE=15$​。
又∵​$AC=17$​，
∴​$AE^2+EC^2=15^2+8^2=289=17^2=AC^2$​，
∴​$∠ E=90°$​，
∴​$S_{△ ABC}=S_{△ AEC}=\frac {1}{2}AE· EC=\frac {1}{2}×15×8=60$​。

解：设DC与BE相交于点G。
$\because$ 四边形ABCD是长方形，
$\therefore ∠ D=∠ A=∠ C=90°，$$AD=BC=6\ \mathrm{cm}，$$CD=AB=8\ \mathrm{cm}。$
根据折叠的特征，得$△ EBP ≌ △ ABP，$
$\therefore EP=AP，$$∠ E=∠ A=90°，$$BE=BA=8\ \mathrm{cm}，$
$\therefore ∠ D=∠ E。$
在$△ ODP$和$△ OEG$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ E,\\OD=OE,\\∠ DOP=∠ EOG,\end{cases}$
$\therefore △ ODP ≌ △ OEG，$
$\therefore OP=OG，$$PD=GE，$
$\therefore OP+OE=OG+OD，$即$EP=DG。$
设$AP=x\ \mathrm{cm}，$则$PD=GE=(6-x)\ \mathrm{cm}，$$EP=DG=x\ \mathrm{cm}。$
$\therefore CG=CD-DG=(8-x)\ \mathrm{cm}，$
$BG=BE-GE=8-(6-x)=(2+x)\ \mathrm{cm}。$
在$\mathrm{Rt}△ BCG$中，由勾股定理，得$BC^2+CG^2=BG^2，$
即$6^2+(8-x)^2=(2+x)^2，$
解得$x=4.8。$
$\therefore AP$的长为$4.8\ \mathrm{cm}。$
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