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$\frac{15}{4}$
$\sqrt{10}$
解：
(1) $△ ACM$是直角三角形，理由如下：
$\because AC=13\ \mathrm{km}，$$CM=5\ \mathrm{km}，$$AM=12\ \mathrm{km}，$
$\therefore CM^2 + AM^2 = 5^2 + 12^2 = 169\ (\mathrm{km}^2)，$
$AC^2 = 13^2 = 169\ (\mathrm{km}^2)，$
$\therefore CM^2 + AM^2 = AC^2，$
$\therefore △ ACM$是直角三角形，$∠ AMC=90°。$
(2) 设$AB=BC=x\ \mathrm{km}，$则$BM=(x-5)\ \mathrm{km}。$
$\because ∠ AMC=90°，$$∠ AMB + ∠ AMC = 180°，$
$\therefore ∠ AMB=90°。$
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，由勾股定理得：
$AM^2 + BM^2 = AB^2，$即$12^2 + (x-5)^2 = x^2，$
解得$x=16.9，$即$AB=16.9\ \mathrm{km}。$
答：公路$AB$的长为$16.9\ \mathrm{km}。$
解：
​$ (1)\ \mathrm {BH}=CA$​，证明如下：
∵​$CD⊥ AB$​，​$BE⊥ AC$​，
∴​$∠ BDC = ∠ CDA = ∠ BEA = 90°$​，
∴​$∠ A + ∠ DCA = 90°$​，​$∠ A + ∠ ABE = 90°$​，
∴​$∠ ABE = ∠ DCA$​。
又∵​$∠ ABC=45°$​，
∴​$∠ BCD = ∠ ABC = 45°$​，
∴​$DC=DB$​。
​$ $​在​$△ DBH$​和​$△ DCA$​中，
​$ \begin {cases} ∠ DBH = ∠ DCA \\DB = DC \\∠ BDH = ∠ CDA \end {cases}$​
∴​$△ DBH ≌ △ DCA$​，
∴​$BH=CA$​。
​$ (2) $​证明：连接​$CG$​。
∵​$F $​为​$BC$​的中点，​$DB=DC$​，
∴​$DF $​垂直平分​$BC$​，
∴​$BG=CG$​。
∵​$BE⊥ AC$​，
∴​$∠ BEA = ∠ BEC = 90°$​。
​$ $​在​$△ ABE$​和​$△ CBE$​中，
​$ \begin {cases} ∠ ABE = ∠ CBE \\BE = BE \\∠ BEA = ∠ BEC \end {cases}$​
∴​$△ ABE ≌ △ CBE$​，
∴​$EA=EC$​。
​$ $​在​$Rt△ CGE$​中，由勾股定理得：
​$ CG^2 - GE^2 = EC^2$​，
又∵​$BG=CG$​，​$EA=EC$​，
∴​$BG^2 - GE^2 = EA^2$​。
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