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B
$20\%$
解：设这种植物的主根长出了$x$根支根。
根据题意，得$1+x+\frac{1}{3}x· x + (1-\frac{1}{3})x· \frac{1}{2}x=109，$
解得$x_1=12，$$x_2=-\frac{27}{2}$（不合题意，舍去）。
∴这种植物的主根长出了12根支根。
解：
(1) 由题意，得$2×20 +20=60$（双）。
∴若每双鞋子降价20元，商场平均每天可售出60双鞋子。
(2) 设每双鞋子降价$x$元。
根据题意，得$(50-x)(20+2x)=1750，$
整理，得$x^2 -40x +375=0，$
解得$x_1=15，$$x_2=25。$
∵要让顾客尽可能多得实惠，
∴$x=25。$
∴每双鞋子应降价25元。
解：
(1) 设$y$与$x$之间的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将$(25,250)，$$(40,100)$代入$y=kx+b，$得
$\begin{cases}25k + b = 250\\40k + b = 100\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10\\b=500\end{cases}$
∴$y$与$x$之间的函数解析式为$y=-10x+500。$
(2) 根据题意，得$(x-20)(-10x+500)=1440，$
整理，得$x^2 -70x +1144=0，$
解得$x_1=26，$$x_2=44。$
又
∵要能让消费者减少花费，
∴$x=26。$
∴此时的售价为26元/件。
(3) 该超市不能保证出售该商品每天获得2500元的利润，理由如下：
假设该超市能保证出售该商品每天获得2500元的利润，
根据题意，得$(x-20)(-10x+500)=2500，$
整理，得$x^2 -70x +1250=0。$
∵$\Delta=(-70)^2 -4×1×1250=-100＜0，$
∴该方程无实数根。
∴假设不成立，即该超市不能保证出售该商品每天获得2500元的利润。
【分析】首先明确第一季度包含1月、2月、3月三个月的营业额，需分别计算这三个月的营业额，再求和等于总营业额3990万元。根据月平均增长率x，依次求出2月、3月的营业额，进而列出方程，对应选项即可得出答案。
【解析】已知1月营业额为1000万元，月平均增长率为x，则：
2月营业额 = 1月营业额×(1+增长率) = 1000(1+x)万元；
3月营业额 = 2月营业额×(1+增长率) = 1000(1+x)×(1+x) = 1000(1+x)²万元；
第一季度总营业额为1、2、3月营业额之和，因此列方程为：
1000 + 1000(1+x) + 1000(1+x)² = 3990，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题考查增长率问题的实际应用，核心是明确第一季度的时间范围（三个月），避免误将总营业额当成某一个月的营业额，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【分析】首先计算5月的产量，因5月比4月减少10%，故5月产量为4月产量的90%；接着明确从6月起产量逐月上升，设6、7月的月平均增长率为x，则7月产量是5月产量经过两次增长后的结果，即5月产量×(1+x)²；最后根据7月产量为648t列出方程，求解方程并舍去不符合实际意义的负根，得到月平均增长率。
【解析】解：1. 计算5月产量：500×(1-10%)=500×0.9=450(t)；
2. 设该化肥厂去年6月、7月产量的月平均增长率为x，根据题意列方程：
450(1+x)²=648；
3. 解方程：
两边同时除以450得：(1+x)²=648÷450=1.44；
开平方得：1+x=±1.2（增长率为正，舍去负根）；
因此1+x=1.2，解得x=0.2=20%。
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题是一元二次方程的典型应用——增长率问题，解题关键是理清各月产量的数量关系，正确建立方程，需注意舍去不符合实际的解，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.6
【分析】首先设主根长出的支根数量为$ x $，分别计算主根、支根、小支根的数量：主根为1根，支根为$ x $根；小支根分为两部分，$\frac{1}{3}x$根支根每根长$ x $个小支根，其余$(1-\frac{1}{3})x$根支根每根长$\frac{1}{2}x$个小支根，总根数为三者之和等于109，据此列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负数解，得到答案。
【解析】解：设这种植物的主根长出了$ x $根支根。
根据题意，总根数为：主根数量 + 支根数量 + 小支根数量，即
$1 + x + \frac{1}{3}x · x + (1 - \frac{1}{3})x · \frac{1}{2}x = 109$
化简方程：
$1 + x + \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x^2 = 109$
$\frac{2}{3}x^2 + x + 1 = 109$
两边同乘3消去分母：
$2x^2 + 3x + 3 = 327$
整理得：
$2x^2 + 3x - 324 = 0$
计算判别式：$\Delta = 3^2 - 4 × 2 × (-324) = 9 + 2592 = 2601 = 51^2$
解得：
$x = \frac{-3 \pm 51}{4}$
即$x_1 = \frac{48}{4} = 12$，$x_2 = \frac{-54}{4} = -\frac{27}{2}$
因为支根数量不能为负数，所以舍去$x_2 = -\frac{27}{2}$，故$x = 12$。
【答案】12根
【知识点】一元二次方程的应用、实际问题与一元二次方程
【点评】本题核心是理清各部分根的数量关系，正确列代数式并建立方程，求解后需结合实际意义取舍解，属于中等难度的应用题，考查学生的数学建模能力。
【难度系数】0.5
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需根据“每降价1元多售2双”的数量关系，计算降价20元时的总销量；第(2)问是销售盈利问题，核心公式为“总盈利=每双盈利×销售数量”，需设降价金额为未知数列方程，再结合“让顾客尽可能多得实惠”的条件对解取舍。
【解析】
(1) 每双鞋子降价20元时，多售出的鞋子数量为 $2×20=40$ 双，加上原每天售出的20双，总销量为 $20+40=60$ 双。
(2) 设每双鞋子降价 $x$ 元，则每双盈利为 $(50-x)$ 元，每天销量为 $(20+2x)$ 双。根据总盈利1750元列方程：
$(50-x)(20+2x)=1750$
整理得：$x^2-40x+375=0$，解得 $x_1=15$，$x_2=25$。因要让顾客尽可能多得实惠，故选择较大的降价金额 $x=25$。
【答案】
(1) 60双；(2) 25元
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润问题
【点评】
本题是销售类实际应用题，第(1)问较基础；第(2)问为易错题，需注意根据题目要求对一元二次方程的解进行合理取舍，避免忽略“让顾客多得实惠”的条件。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题围绕销售利润问题展开，第(1)问需利用图像给出的两点，通过待定系数法求出y与x的一次函数解析式；第(2)问根据“利润=每件利润×销量”的公式列一元二次方程，再结合“让消费者减少花费”的条件筛选出符合要求的售价；第(3)问同样利用利润公式列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根，进而确定能否达到目标利润。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b (k≠0)$，将点$(25,250)$、$(40,100)$代入解析式，得：
$\begin{cases}25k + b = 250 \\40k + b = 100\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$15k = -150$，解得$k = -10$；将$k=-10$代入$25k + b =250$，得$-250 + b =250$，解得$b=500$。
因此，$y$与$x$之间的函数解析式为$y = -10x + 500$。
(2) 根据题意，每天的利润为$(x - 20)y$，已知利润为1440元，代入$y=-10x+500$，得：
$(x - 20)(-10x + 500) = 1440$
整理方程：
展开左边得$-10x^2 + 700x - 10000 = 1440$，移项化简为$x^2 -70x +1144=0$。
解该方程，判别式$\Delta = (-70)^2 -4×1×1144 = 324$，根为$x = \frac{70±18}{2}$，即$x_1=44$，$x_2=26$。
因为要让消费者减少花费，所以选择较小的售价，即$x=26$元/件。
(3) 假设每天能获得2500元利润，根据利润公式列方程：
$(x -20)(-10x +500)=2500$
整理方程：
展开左边得$-10x^2 +700x -10000 =2500$，移项化简为$x^2 -70x +1250=0$。
计算判别式$\Delta = (-70)^2 -4×1×1250 = -100 ＜0$，说明该一元二次方程无实数根，因此假设不成立，超市不能保证每天获得2500元的利润。
【答案】
(1) $y=-10x+500$；(2) 26元/件；(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
一次函数解析式、一元二次方程应用、利润问题
【点评】
本题结合销售实际问题，考查待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法及根的判别式的应用，解题时需注意实际问题中解的合理性筛选，是初中数学典型的应用题。
【难度系数】
0.6
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