第40页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

$y=-x^2+4x-3$

 解：

 (1) 设此二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c。$根据题意，得

 $\begin{cases} a×(-2)^2 + b×(-2) + c = 5, \\ c = -3, \\ a + b + c = -4, \end{cases}$

 解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-3.\end{cases}$

 ∴此二次函数的解析式为$y=x^2-2x-3。$

 (2) 画出函数图象，由图象可得当输出值$y$为正数时，输入值$x$的取值范围是$x＜-1$或$x＞3。$

 解：

 (1) 把$B(-2,6)，$$C(2,2)$代入$y=ax^2+bx+2，$得

 $\begin{cases} 4a - 2b + 2 = 6, \\ 4a + 2b + 2 = 2, \end{cases}$

 解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=-1.\end{cases}$

 ∴抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 - x + 2。$

 (2) $\because y=\frac{1}{2}x^2 -x +2=\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{3}{2}，$

 ∴顶点$D$的坐标为$(1,\frac{3}{2})。$

 ∴$△ BCD$的面积$=4×\frac{9}{2} - \frac{1}{2}×3×\frac{9}{2} - \frac{1}{2}×1×\frac{1}{2} - \frac{1}{2}×4×4 = 3。$

$＜$

 解：

 (1) 设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-3)^2+2。$把$(1,-2)$代入，得$a×(1-3)^2 +2 = -2，$解得$a=-1。$

 所以抛物线对应的函数解析式为$y=-(x-3)^2+2。$

 (2) $\because a=-1＜0，$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3，$当$m＜n＜3$时，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，

 $\therefore y_1 ＜ y_2。$

【分析】已知二次函数的一般式，且函数图像经过两个点，根据函数图像上的点满足函数解析式，将两点坐标代入解析式可得到关于系数a、b的二元一次方程组，解这个方程组求出a、b的值，即可确定二次函数的解析式。
【解析】将点$(1,0)$、$(2,1)$代入二次函数$y=ax^2+bx-3$，得到方程组：
$\begin{cases}a + b - 3 = 0 \\4a + 2b - 3 = 1\end{cases}$
化简方程组：
第一个方程移项得$a + b = 3$；第二个方程移项得$4a + 2b = 4$，两边同除以2得$2a + b = 2$。
用化简后的第二个方程减去第一个方程：$(2a + b) - (a + b) = 2 - 3$，解得$a = -1$。
将$a = -1$代入$a + b = 3$，得$-1 + b = 3$，解得$b = 4$。
因此，二次函数的解析式为$y = -x^2 + 4x - 3$。
【答案】$y=-x^2+4x-3$
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数的解析式
【点评】本题是二次函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题步骤清晰，计算难度低，能帮助学生巩固二次函数解析式的求解方法。
【难度系数】0.8

【分析】
要解决这个问题，首先利用待定系数法求二次函数解析式：因为y是x的二次函数，设一般式$y=ax^2+bx+c$，代入已知的三组(x,y)值得到三元一次方程组，解方程组求出a、b、c即可得到解析式；再根据解析式画出函数图像，最后通过观察图像，找到y＞0时对应的x的取值范围。
【解析】
(1) 设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c$，将$x=-2$时$y=5$，$x=0$时$y=-3$，$x=1$时$y=-4$代入，得：
$\begin{cases} 4a - 2b + c = 5 \\ c = -3 \\ a + b + c = -4 \end{cases}$
把$c=-3$代入$4a - 2b + c =5$，得$4a -2b =8$，即$2a -b=4$；
把$c=-3$代入$a + b + c =-4$，得$a + b = -1$；
联立$\begin{cases}2a - b=4 \\a + b=-1\end{cases}$，两式相加得$3a=3$，解得$a=1$，代入$a + b=-1$得$b=-2$；
因此二次函数解析式为$y=x^2 -2x -3$。
(2) 根据解析式画出二次函数的图象（如图所示），观察图象可知，抛物线与x轴交于$(-1,0)$和$(3,0)$，且开口向上，因此当输出值$y$为正数时，输入值$x$的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$；(2) 图象如图所示，当输出值$y$为正数时，输入值$x$的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$
【知识点】
二次函数解析式、二次函数图像、二次函数与不等式
【点评】
本题考查待定系数法求二次函数解析式及利用二次函数图像求解不等式，是初中数学的基础题型，掌握待定系数法和二次函数图像的性质是解题核心。
【难度系数】
0.6

【分析】
第(1)问，已知抛物线经过两个定点，采用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于系数a、b的方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到抛物线解析式；第(2)问，先将抛物线解析式配方，求出顶点D的坐标，再利用坐标法（如割补法或鞋带公式）计算△BCD的面积。
【解析】
(1) 将点$B(-2,6)$、$C(2,2)$代入$y=ax^2+bx+2$，得：
$\begin{cases}4a - 2b + 2 = 6 \\4a + 2b + 2 = 2 \end{cases}$
整理得：$\begin{cases}2a - b = 2 \\2a + b = 0 \end{cases}$
两式相加解得$4a=2$，即$a=\dfrac{1}{2}$，代入$2a + b=0$得$b=-1$。
因此抛物线的函数解析式为$y=\dfrac{1}{2}x^2 - x + 2$。
(2) 对抛物线解析式配方：
$y=\dfrac{1}{2}x^2 - x + 2=\dfrac{1}{2}(x^2 - 2x) + 2=\dfrac{1}{2}(x-1)^2 + \dfrac{3}{2}$
故顶点$D$的坐标为$(1,\dfrac{3}{2})$。
利用鞋带公式计算$△ BCD$的面积：
三点坐标为$B(-2,6)$、$C(2,2)$、$D(1,\dfrac{3}{2})$，
面积$S=\dfrac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|$
代入得：
$S=\dfrac{1}{2}\left|(-2)×(2-\dfrac{3}{2}) + 2×(\dfrac{3}{2}-6) +1×(6-2)\right|$
$=\dfrac{1}{2}\left|(-2)×\dfrac{1}{2} + 2×(-\dfrac{9}{2}) + 4\right|$
$=\dfrac{1}{2}\left|-1 -9 +4\right|=\dfrac{1}{2}×6=3$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x^2 - x + 2$；(2) $3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查二次函数的解析式求解与几何图形面积计算，核心是待定系数法的应用和坐标法求三角形面积，属于基础题型，需掌握二次函数的基本性质与面积计算方法。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这道题，第(1)问已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，再代入已知点求解系数a；第(2)问需结合抛物线的开口方向和对称轴，判断对称轴左侧的函数增减性，进而比较函数值大小。
【解析】
(1) 因为抛物线顶点坐标为$(3,2)$，所以设抛物线的顶点式为 $y=a(x-3)^2+2$（顶点式 $y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标）。
将点$(1,-2)$代入解析式，得：
$a(1-3)^2 + 2 = -2$
计算得：$4a + 2 = -2$，解得 $a=-1$。
因此，抛物线的函数解析式为 $y=-(x-3)^2+2$。
(2) 由(1)知抛物线解析式为 $y=-(x-3)^2+2$，其中 $a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，对称轴为直线 $x=3$。
对于开口向下的抛物线，在对称轴左侧（即 $x＜3$），函数值$y$随$x$的增大而增大。
已知 $m ＜ n ＜ 3$，即点A、B都在对称轴左侧，且 $m ＜ n$，所以 $y_1 ＜ y_2$。
【答案】
(1) $y=-(x-3)^2+2$；(2) $＜$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图像的增减性
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，核心是顶点式的运用和抛物线增减性的判断，属于常规基础题，只要掌握相关知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7