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C
$-0.2$
$6.2$

$y_1＞y_2$
解：
(1) $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4，$该抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-4)，$与$x$轴交于$(-1,0)$、$(3,0)，$与$y$轴交于$(0,-3)，$据此画出图象。
(2) $y_1＞y_2$
(3) 作直线$y=-2，$该直线与抛物线的两个交点的横坐标即为方程$x^2-2x-1=0$的两个根，在$x$轴上标记出对应的根$x_3,x_4，$保留作图痕迹。
A
2025
$x=-\frac{1}{2}$
解：
(1) ② 证明：当$y_1=m$时，将$A(-1,m)$代入$y=ax^2-2mx+m，$得$a+2m+m=m，$即$a=-2m。$
$\because a=-2m，$$a≠0，$
令$ax^2-2mx+m=0，$则$\Delta=(-2m)^2-4am=4m^2+8m^2=12m^2＞0，$
$\therefore$ 不论$m$为何值，该函数图象与$x$轴总有两个公共点。
(2) $\because y_2=1，$$\therefore B(1,1)。$
把$B(1,1)$代入$y=ax^2-2mx+m，$得$a-2m+m=1，$即$a=m+1。$
把$A(-1,y_1)$代入$y=ax^2-2mx+m，$得$y_1=a+2m+m=4m+1。$
把$C(2,y_3)$代入$y=ax^2-2mx+m，$得$y_3=4a-4m+m=m+4。$
$\because y_1＜y_3＜y_2，$
$\therefore \begin{cases}4m+1＜m+4 \\ m+4＜1\end{cases}$
解得$m＜-3。$
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的近似解，需明确：方程的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的$x$值，即函数图像与$x$轴交点的横坐标。因此只需找到表格中$y$值由正变负（或负变正）的相邻$x$区间，利用二次函数的连续性，该区间内必然存在使$y=0$的$x$，即为方程解的区间。
【解析】
观察表格数据：当$x=-1$时，$y=1＞0$；当$x=0$时，$y=-22＜0$。根据二次函数的连续性，在$x=-1$到$x=0$之间，函数图像会穿过$x$轴，即存在$x$使得$y=0$，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似解$x_1$的取值范围是$-1＜x_1＜0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，核心是通过函数值的正负变化确定方程解的区间，属于基础应用题型，难度较低。
【难度系数】
0.6
【分析】首先明确：抛物线与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的根；其次，该抛物线为顶点式，对称轴是直线x=3；已知一个交点横坐标为-0.2，利用抛物线对称性，两个交点关于对称轴对称，计算另一个根即可。
【解析】抛物线$y=a(x-3)^2+m$的对称轴为直线$x=3$，它与x轴的一个交点为$(-0.2,0)$，根据抛物线的对称性，两个交点到对称轴的距离相等，因此另一个交点的横坐标为$3 + (3 - (-0.2))=6.2$；而一元二次方程$a(x-3)^2+m=0$的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，所以方程的两根为$x_1=-0.2$，$x_2=6.2$。
【答案】-0.2；6.2
【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的对称性
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，核心是利用抛物线的对称性求方程的根，属于基础题型，需掌握对称轴的计算和对称性的应用。
【难度系数】0.5
【分析】
本题围绕二次函数展开，分三步思考：
1. 第(1)问：将一般式化为顶点式用配方法，核心是对x的一次项配方，调整常数项得到顶点式；画图象需确定顶点、与坐标轴交点、对称轴，再描点连线。
2. 第(2)问：根据二次函数开口方向和对称轴，判断对称轴左侧的增减性，自变量越小，函数值越大，从而比较y₁、y₂。
3. 第(3)问：利用函数与方程的关系，方程的根对应函数值为常数时的自变量，转化为找抛物线与水平线的交点横坐标。
【解析】
(1) 用配方法化简：
$y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3=(x-1)^2-4$。
画图象：顶点为$(1,-4)$，令$y=0$，解得$x=-1$和$x=3$，即与x轴交点$(-1,0)$、$(3,0)$；令$x=0$，得$y=-3$，即与y轴交点$(0,-3)$；对称轴为直线$x=1$，据此画出开口向上的抛物线。
(2) 二次函数$y=(x-1)^2-4$开口向上，对称轴为$x=1$，当$x＜1$时，$y$随$x$增大而减小。因为$x_1＜x_2＜1$，所以$y_1＞y_2$。
(3) 方程$x^2-2x-1=0$变形为$x^2-2x-3=-2$，即求$y=-2$时抛物线的横坐标。作直线$y=-2$，与抛物线交于两点，横坐标即为方程的根，对应图中$x_3$、$x_4$。
【答案】
(1) $y=(x-1)^2-4$，图象如图；(2) $y_1＞y_2$；(3) 图中$x_3$、$x_4$为方程的根
【知识点】
二次函数配方法、二次函数性质、二次函数与一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的核心知识点，是基础题型，需熟练掌握配方法、函数单调性及函数与方程的联系。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题给出的是二次函数的顶点式，首先需确定其对称轴，再利用二次函数的对称性，结合题目中函数在不同区间与x轴的位置关系，找到函数与x轴的交点，进而求出参数a的值。
【解析】
二次函数$y=a(x-4)^2-4(a≠0)$的对称轴为直线$x=4$，函数图象与x轴的交点关于对称轴$x=4$对称。
由题意，$2＜x＜3$时图象在x轴下方，$6＜x＜7$时图象在x轴上方，结合对称性可知：$x=2$与$x=6$关于直线$x=4$对称，因此函数与x轴的交点为$x=2$和$x=6$（且开口向上，故$a＞0$）。
将交点$(2,0)$代入函数解析式：
$0=a(2-4)^2 -4$，即$0=4a -4$，解得$a=1$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象性质、二次函数的对称性
【点评】
本题主要考查二次函数的对称性及图象与x轴交点的应用，核心是利用对称轴找到函数与x轴的交点，进而求解参数，属于二次函数的基础题型，解题关键在于理解区间的对称关系。
【难度系数】
0.4
【分析】首先，根据二次函数与x轴交点的性质，交点横坐标满足函数值为0，可得到关于m的等式，将其变形后代入所求式子，再利用韦达定理求出两根和，进而计算出结果。
【解析】因为二次函数$y=x^2+2x-5$的图象与x轴交点的横坐标为m、n，所以当$x=m$时，$m^2 + 2m -5=0$，即$m^2=-2m +5$。将$m^2=-2m +5$代入$-m^2 +2n +2034$，可得：
原式$=-(-2m +5)+2n +2034=2m -5 +2n +2034=2(m +n)+2029$。
对于二次函数对应的一元二次方程$x^2+2x-5=0$，由韦达定理，两根之和$m +n=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$。将$m +n=-2$代入上式，得：$2×(-2)+2029=-4 +2029=2025$。
【答案】2025
【知识点】二次函数与一元二次方程、韦达定理
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系及韦达定理的应用，核心是利用交点横坐标满足的函数式变形简化所求式子，计算过程清晰，难度适中。
【难度系数】0.5
【分析】
本题围绕二次函数的性质展开，分两小问求解。第(1)问①，先利用点A在函数图象上的条件求出a与m的关系，再代入二次函数对称轴公式计算对称轴；②要证函数与x轴总有两个公共点，需计算判别式Δ，将a用m表示后代入Δ，判断Δ是否恒大于0。第(2)问，先将点B代入函数求出a关于m的表达式，再分别计算y₁和y₃，根据y₁＜y₃＜y₂列出不等式组，解不等式组得到m的取值范围。
【解析】
(1)① 把点A(-1, m)代入二次函数y=ax²-2mx+m，得：
a·(-1)² -2m·(-1) + m = m → a + 2m + m = m → a = -2m。
二次函数对称轴公式为x = -b/(2a)，其中函数中b=-2m，a=-2m，代入得：
x = -(-2m)/(2·(-2m)) = (2m)/(-4m) = -1/2（m≠0，因a≠0）。
故对称轴为直线x=-1/2。
② 由①知a=-2m，令ax² -2mx + m =0，计算判别式Δ：
Δ = (-2m)² -4·a·m =4m² -4·(-2m)·m =4m² +8m²=12m²。
∵ a≠0，
∴ m≠0，
∴12m²＞0，即方程有两个不相等的实数根，故不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点。
(2)
∵ y₂=1，
∴点B(1,1)代入函数得：
a·1² -2m·1 +m =1 → a -m =1 → a = m+1。
分别计算y₁和y₃：
y₁ = a·(-1)² -2m·(-1)+m =a +3m，代入a=m+1得：y₁=(m+1)+3m=4m+1；
y₃ =a·2² -2m·2 +m=4a -3m，代入a=m+1得：y₃=4(m+1)-3m=m+4。
根据y₁＜y₃＜y₂，y₂=1，列不等式组：
$\begin{cases}4m+1 ＜ m+4 \\ m+4 ＜1 \end{cases}$
解第一个不等式：3m ＜3 → m＜1；
解第二个不等式：m ＜ -3；
取交集得m ＜ -3。
【答案】
(1)① $x=-\dfrac{1}{2}$；② 证明见解析；(2) $m ＜ -3$
【知识点】
二次函数对称轴、二次函数与x轴交点、不等式组应用
【点评】
本题综合考查二次函数的基本性质与代数运算，需熟练运用对称轴公式、判别式判断函数与x轴的交点情况，以及根据函数值大小关系列不等式求解参数，属于常规中档题，对学生代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
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