第52页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

C

B

$\frac{14}{9}$

$y=-\frac{1}{9}(x+6)^2+4$

 解：

解法一：建立如图①所示的平面直角坐标系，连接AB，交y轴于点H。设OH的长为$m\ \mathrm{m}，$则$B(3,-m)，$$D(4,-m-4)。$

 设此抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2，$将$B(3,-m)，$$D(4,-m-4)$代入，得

 $\begin{cases}a× 3^2=-m,\\a× 4^2=-m-4,\end{cases}$

 解得$\begin{cases}a=-\frac{4}{7},\\m=\frac{36}{7}.\end{cases}$

 $\therefore y=-\frac{4}{7}x^2。$

 $\because$ 当$x=4$时，$y=-\frac{4}{7}×4^2=-\frac{64}{7}，$即$D(4,-\frac{64}{7})，$

 $\therefore$ 拱门的高为$\frac{64}{7}\ \mathrm{m}。$

 解法二：建立如图②所示的平面直角坐标系，则$C(-4,0)，$$D(4,0)，$$B(3,4)。$设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+4)(x-4)。$把$B(3,4)$代入，得$4=a(3+4)(3-4)，$$\therefore a=-\frac{4}{7}。$

 $\therefore y=-\frac{4}{7}(x+4)(x-4)，$即$y=-\frac{4}{7}x^2+\frac{64}{7}。$

 $\therefore$ 当$x=0$时，$y=\frac{64}{7}，$即$P(0,\frac{64}{7})。$

 $\therefore$ 拱门的高为$\frac{64}{7}\ \mathrm{m}。$

C

【分析】
要计算杯口AC的长度，需利用抛物线的对称性。首先确定杯口AC所在的y值（即OD的长度14cm），将其代入抛物线解析式求出对应的x坐标，再根据抛物线关于y轴对称的性质，计算A、C两点间的距离即可。
【解析】
已知杯口AC对应的y值为OD的长度14cm，将$y=14$代入抛物线解析式$y=\dfrac{4}{9}x^2 +5$，得：
$14=\dfrac{4}{9}x^2 +5$
移项计算：$\dfrac{4}{9}x^2=14-5=9$
两边同乘$\dfrac{9}{4}$：$x^2=9×\dfrac{9}{4}=\dfrac{81}{4}$
解得$x=\pm\dfrac{9}{2}$
因为抛物线关于y轴对称，所以A点坐标为$(-\dfrac{9}{2},14)$，C点坐标为$(\dfrac{9}{2},14)$，则AC的长度为：
$\dfrac{9}{2}-(-\dfrac{9}{2})=9\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；抛物线的对称性
【点评】
本题结合实际问题考查二次函数的性质，核心是利用抛物线的对称性求解线段长度，解题关键是确定杯口对应的函数值，代入解析式计算自变量，难度不大，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，需利用抛物线的对称性确定水面端点的横坐标，再将横坐标代入抛物线解析式求出对应纵坐标，纵坐标的绝对值即为水面与拱顶的距离。由于抛物线关于y轴对称，AB宽度为20m，可先确定端点B的横坐标，再代入解析式计算结果。
【解析】
解：
∵抛物线$y = -\dfrac{1}{25}x^{2}$关于y轴对称，AB宽度为20m，
∴点B的横坐标为$20÷2=10$，
将$x=10$代入抛物线解析式，得：
$y = -\dfrac{1}{25}×10^2 = -\dfrac{1}{25}×100 = -4$，
∴水面与桥拱拱顶的距离$CO$为$|y|=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；抛物线的对称性
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的基础应用，核心是利用抛物线对称性确定点坐标，代入解析式计算即可，难度较低，适合学生掌握。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这个问题，我们通过建立平面直角坐标系，将抛物线拱桥转化为二次函数模型，利用待定系数法求出抛物线解析式，再结合水面宽度的条件计算水面下降的高度。核心思路是：先确定抛物线的表达式，再根据新的水面宽度求出对应水面高度，最后与初始水面高度作差得到下降距离。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：设抛物线的拱顶（顶点）为$(0,2)$，抛物线开口向下，因此设其解析式为$y = ax^2 + 2$。
2. 求抛物线解析式：已知当水面宽6m时，水面纵坐标为0，对应点$(3,0)$，代入解析式得：
$0 = a · 3^2 + 2$，解得$a = -\dfrac{2}{9}$，因此抛物线解析式为$y = -\dfrac{2}{9}x^2 + 2$。
3. 计算水面宽8m时的水面高度：当水面宽8m时，对应$x = \pm 4$，将$x=4$代入解析式得：
$y = -\dfrac{2}{9} × 4^2 + 2 = -\dfrac{32}{9} + \dfrac{18}{9} = -\dfrac{14}{9}$。
4. 求水面下降距离：初始水面高度为0，此时水面高度为$-\dfrac{14}{9}$，因此下降距离为$0 - (-\dfrac{14}{9}) = \dfrac{14}{9}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\dfrac{14}{9}$
【知识点】
二次函数的应用；抛物线解析式
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的典型应用，关键是建立合适的坐标系转化为数学模型，利用待定系数法求解析式，再结合函数值解决实际问题，属于基础应用题型，需掌握抛物线的性质和坐标与图形的关系。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决这个问题，需明确坐标原点平移时，新旧坐标的对应关系：原坐标系以A为原点，B点坐标为(12,0)；当将原点换为B时，新坐标系的x与原坐标系的x满足“原x = 新x + 12”，将原解析式中的x按此关系替换，即可得到新坐标系下的抛物线解析式。
【解析】
设以B为原点时，抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{9}(x-h)^2+k$，需将原坐标系的坐标转换为新坐标系的坐标：
原坐标系中，B点的x坐标为12，对应新坐标系中B点的x=0，因此原坐标系的x与新坐标系的x的关系为：原$x = 新x + 12$。
将原解析式$y=-\dfrac{1}{9}(x-6)^2+4$中的x替换为“新x +12”，代入得：
$y=-\dfrac{1}{9}[(x+12)-6]^2+4 = -\dfrac{1}{9}(x+6)^2+4$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{9}(x+6)^2+4$
【知识点】
二次函数解析式、坐标平移
【点评】
本题考查抛物线解析式在坐标原点平移时的变换，核心是明确新旧坐标的对应关系，通过代入替换即可求解，属于基础的函数坐标变换题。
【难度系数】
0.3

【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，核心思路是通过建立平面直角坐标系，将拱门的抛物线转化为函数解析式，利用已知点的坐标求解函数参数，进而得到拱门的高度。解题时可选择两种坐标系建立方式：一种以拱门顶P为原点，对称轴为y轴；另一种以地面CD为x轴，CD中点为原点，根据不同坐标系确定对应点坐标，代入抛物线解析式计算，最终得到拱门顶到地面的距离即拱门的高。
【解析】
解法一：建立如图①所示的平面直角坐标系，以P为原点，对称轴为y轴，设抛物线解析式为$ y = ax^2 $。
∵ AB=6m，
∴ B点横坐标为3；设OH=m，则B点坐标为$ (3, -m) $。
∵ CD=8m，A、B距地面4m，
∴ D点横坐标为4，纵坐标为$ -m -4 $，即D点坐标为$ (4, -m -4) $。
将B、D坐标代入解析式得：
$\begin{cases}9a = -m \\16a = -m -4\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$ 7a = -4 $，解得$ a = -\frac{4}{7} $，代入$ 9a = -m $得$ m = \frac{36}{7} $。
当x=4时，$ y = -\frac{4}{7} × 4^2 = -\frac{64}{7} $，即D点纵坐标为$ -\frac{64}{7} $，故拱门的高为$ \frac{64}{7} \, \mathrm{m} $。
解法二：建立如图②所示的平面直角坐标系，以CD所在直线为x轴，CD中点为原点，则C(-4,0)，D(4,0)。
∵ AB=6m，A、B距地面4m，
∴ B点坐标为(3,4)。
设抛物线解析式为交点式$ y = a(x+4)(x-4) $，将B(3,4)代入得：
$ 4 = a(3+4)(3-4) $，即$ 4 = -7a $，解得$ a = -\frac{4}{7} $。
∴ 抛物线解析式为$ y = -\frac{4}{7}(x+4)(x-4) = -\frac{4}{7}x^2 + \frac{64}{7} $。
当x=0时，$ y = \frac{64}{7} $，即拱门顶P的纵坐标为$ \frac{64}{7} $，故拱门的高为$ \frac{64}{7} \, \mathrm{m} $。
【答案】

【知识点】
二次函数应用，抛物线解析式，坐标系建立
【点评】
本题通过一题多解考查二次函数的实际应用，关键是合理建立平面直角坐标系，将几何条件转化为点的坐标，利用抛物线解析式求解，体现了数形结合思想，难度适中，能有效考查学生的应用能力。
【难度系数】
0.4

【分析】
要解决该问题，需先建立平面直角坐标系求出抛物线解析式，再根据立柱位置计算单段护栏的立柱长度，最后乘以段数得到总长度。步骤为：1. 设抛物线解析式，利用已知点确定解析式；2. 确定每段护栏中立柱的横坐标；3. 代入解析式计算各立柱高度，求和得单段立柱长度；4. 乘以100段得到总长度。
【解析】
解：以每段护栏底部左端点为原点，底部所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。
由题意，抛物线顶点为$(1, 0.5)$，与x轴交点为$(0,0)$、$(2,0)$。设抛物线解析式为$y = a(x-1)^2 + 0.5$，将$(0,0)$代入得：
$0 = a(0-1)^2 + 0.5$，解得$a=-0.5$，故抛物线解析式为$y=-0.5(x-1)^2 +0.5 = -0.5x^2 +x$。
每段护栏宽2m，立柱间距0.4m，立柱横坐标为$x=0.4,0.8,1.2,1.6$。
计算各点立柱高度：
$x=0.4$时，$y=-0.5×0.4^2 +0.4=0.32\,\mathrm{m}$；
$x=0.8$时，$y=-0.5×0.8^2 +0.8=0.48\,\mathrm{m}$；
根据抛物线对称性，$x=1.2$时$y=0.48\,\mathrm{m}$，$x=1.6$时$y=0.32\,\mathrm{m}$。
单段立柱总长度：$0.32+0.48+0.48+0.32=1.6\,\mathrm{m}$；
100段总长度：$1.6×100=160\,\mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用、抛物线的对称性
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，核心是建立坐标系求解析式，利用抛物线对称性简化计算，属于中等难度的实际应用问题。
【难度系数】
0.5