$(\frac{4}{3},-\frac{1}{9})$
解：
$\because □ ABCD$ 的面积为12，$BC=6，$
$\therefore OA · BC = 12，$即$6OA=12，$
$\therefore OA=2，$$\therefore A(0,2)。$
$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AD=BC=6，$$AD // BC，$
$\therefore A,D$为抛物线上的对称点，
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=3，$
$\therefore$ 顶点$C$的坐标为$(3,0)。$
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-3)^2，$
把$A(0,2)$代入，得$a · (-3)^2 = 2，$解得$a=\frac{2}{9}，$
$\therefore$ 该抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{2}{9}(x-3)^2。$
【分析】首先根据抛物线的顶点式确定对称轴和顶点坐标，再结合AB平行于x轴的性质，求出A、B两点的坐标及AB的长度；接着利用等边三角形的高与边长的关系，建立关于a的方程，求解得到a的值。
【解析】
1. 确定抛物线的关键信息：抛物线解析式为$y=a(x-3)^2+k$，其对称轴为直线$x=3$，顶点C的坐标为$(3,k)$。
2. 求A、B两点坐标及AB长度：A是抛物线与y轴的交点，令$x=0$，代入解析式得$y=a(0-3)^2 +k=9a +k$，故$A(0,9a +k)$；因为$AB// x$轴，所以B点纵坐标与A相同，又A、B关于对称轴$x=3$对称，因此B点横坐标为$3+(3-0)=6$，即$B(6,9a +k)$，则AB的长度为$6-0=6$。
3. 利用等边三角形性质列方程：$△ ABC$为等边三角形，边长$AB=6$，等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}× AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×6=3\sqrt{3}$；该高等于AB与顶点C的垂直距离，即$(9a +k)-k=9a$，因此$9a=3\sqrt{3}$，解得$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】A
【知识点】二次函数的性质、等边三角形的性质
【点评】本题结合二次函数顶点式与等边三角形性质，核心是利用抛物线对称性求AB长度，再通过等边三角形高与边长的关系建立方程，属于中等难度的综合题。
【难度系数】0.5
【分析】首先确定抛物线的顶点坐标，再求出直线CA的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为-1得到直线CB的斜率，写出直线CB的方程，联立直线CB与抛物线的方程，解方程组得到交点，排除顶点C对应的解，即可得到点B的坐标。
【解析】
1. 确定抛物线顶点：抛物线$y=-(x-1)^2$的顶点为$C(1,0)$，即直角顶点为$C(1,0)$。
2. 求直线$CA$的斜率：已知$A(-2,-9)$，则$k_{CA}=\frac{0 - (-9)}{1 - (-2)}=\frac{9}{3}=3$。
3. 求直线$CB$的斜率：因为$CA ⊥ CB$，所以$k_{CA} · k_{CB}=-1$，得$k_{CB}=-\frac{1}{3}$。
4. 写出直线$CB$的方程：过点$C(1,0)$，斜率为$-\frac{1}{3}$，故直线$CB$的方程为$y=-\frac{1}{3}(x-1)$，即$y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$。
5. 联立直线与抛物线方程：抛物线方程为$y=-(x-1)^2$，联立得：
$-(x-1)^2=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$
两边同乘3消分母：$-3(x^2-2x+1)=-x+1$，整理得$3x^2-7x+4=0$。
6. 解方程：解得$x_1=1$（对应顶点$C$，舍去），$x_2=\frac{4}{3}$。
7. 求$B$点纵坐标：将$x=\frac{4}{3}$代入直线$CB$方程，得$y=-\frac{1}{9}$。
【答案】$(\dfrac{4}{3},-\dfrac{1}{9})$
【知识点】抛物线顶点式、直线斜率、两直线垂直的条件、联立方程求交点
【点评】本题结合抛物线与直角三角形的性质，利用直线垂直的斜率关系求解交点，关键是求出直线CB的方程，再联立抛物线求解，属于代数与几何结合的基础题。
【难度系数】0.4
【分析】
首先确定Rt△ABC三条边的方程：AB边为y=2（x∈[1,2]），BC边为x=2（y∈[1,2]），AC边为y=-x+3（x∈[1,2]）。针对抛物线y=ax²分两种情况分析：
1. 开口向下时，a＜0，此时x＞0时ax²＜0，而三角形各点y坐标均≥1＞0，故抛物线与三角形无交点；
2. 开口向上时，a＞0，需分别判断抛物线与三条边的交点，找到三条边都无交点的a范围：联立抛物线与三边方程，结合定义域分析交点是否存在，最终确定无交点的a区间。
【解析】
1. 求Rt△ABC三边方程：
AB边：A(1,2)、B(2,2)，得y=2，x∈[1,2]；
BC边：B(2,2)、C(2,1)，得x=2，y∈[1,2]；
AC边：A(1,2)、C(2,1)，斜率为-1，方程为y=-x+3，x∈[1,2]。
2. 抛物线开口向下（a＜0）时：
对任意x＞0，ax²＜0，三角形各点y≥1＞0，故抛物线与三角形无交点，交点个数为0。
3. 抛物线开口向上（a＞0）时：
与AB边交点：令ax²=2，得x=√(2/a)，需√(2/a)∉[1,2]，即a＜1/2或a＞2；
与BC边交点：令x=2，得y=4a，需4a∉[1,2]，即a＜1/4或a＞0.5；
与AC边交点：联立ax²=-x+3得ax²+x-3=0，判别式Δ=1+12a＞0，当a＜1/4或a＞2时，方程在[1,2]无解；
综上，要与三角形无交点，需同时满足三边无交点，故a的范围是0＜a＜1/4或a＞2。
【答案】
0；$0＜a＜\dfrac{1}{4}$或$a＞2$
【知识点】
二次函数图像性质，直线与抛物线交点，坐标与图形
【点评】
本题结合直角三角形坐标考查二次函数与直线的交点问题，需分情况讨论抛物线开口方向，分别分析与三角形三边的交点，逻辑要求较高，需注意定义域的限制。
【难度系数】
0.3
【分析】
要解决本题，需结合抛物线的性质与平行四边形的判定条件，分情况讨论点P的位置：首先确定抛物线的对称轴和点C的坐标，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，分AC为平行四边形的边和对角线两种情况，结合E在x轴的条件推导点P的纵坐标，代入抛物线方程求解，统计符合条件的点P的数量。
【解析】
1. 确定抛物线的基本参数：
对于抛物线 $ y=ax^2+2ax+c $，对称轴公式为 $ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a}{2a}=-1 $；令 $ x=0 $，得 $ y=c $，故点C坐标为 $ (0,c) $，A为抛物线与x轴的左交点（$ y_A=0 $）。
2. 分情况讨论平行四边形的顶点P：
设E在x轴上，坐标为 $ (e,0) $，点P在抛物线上，坐标为 $ (x,y) $。
情况1：AC为平行四边形的边
平行四边形对边平行且相等，AC的y方向差值为 $ c - 0 = c $，因此EP的y方向差值也为c，结合E在x轴（$ y_E=0 $），得点P的纵坐标 $ y = c $。
将 $ y=c $ 代入抛物线方程：
$ ax^2 + 2ax + c = c $，化简得 $ ax(x+2)=0 $，解得 $ x=0 $（对应点C，舍去）或 $ x=-2 $，得1个符合条件的点 $ P(-2,c) $。
情况2：AC为平行四边形的对角线
平行四边形对边平行且相等，此时AC与EP为对边，方向相反，故点P的纵坐标为 $ -c $（结合E在x轴的条件推导）。
将 $ y=-c $ 代入抛物线方程：
$ ax^2 + 2ax + c = -c $，整理得 $ ax^2 + 2ax + 2c = 0 $。
判别式 $ Δ=(2a)^2 - 4a·2c = 4a(a - 2c) $，由抛物线开口向上（$ a＞0 $），顶点在x轴下方得 $ c - a ＜ 0 $，且图中C在y轴负半轴（$ c＜0 $），故 $ a - 2c = a + |2c| ＞ 0 $，因此 $ Δ＞0 $，方程有2个不同的实根，对应2个符合条件的点P。
综上，符合条件的点P共有 $ 1+2=3 $ 个。
【答案】
C
【知识点】
抛物线的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的经典题型，需运用分类讨论思想分析平行四边形的顶点位置，考查学生对抛物线性质和平行四边形判定的综合应用能力，易错点为漏解情况。
【难度系数】
0.5
【分析】
首先利用平行四边形面积公式求出高OA的长度，得到点A的坐标；再根据平行四边形对边平行且相等的性质，得出AD的长度，结合抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴和顶点C的坐标；最后用抛物线的顶点式设出解析式，代入点A的坐标求出系数a，即可得到所求抛物线的函数解析式。
【解析】
1. 求点A的坐标：
因为平行四边形ABCD的面积 = 底×高 = BC·OA，已知面积为12，BC=6，所以6·OA =12，解得OA=2，因此点A的坐标为(0,2)。
2. 确定抛物线的对称轴和顶点C的坐标：
由于四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，且AD=BC=6，又点A、D在抛物线上，且AD平行于x轴，因此A、D关于抛物线的对称轴对称，故抛物线的对称轴为直线x=(0+6)/2=3。
因为C是抛物线的顶点，且在x轴上，所以顶点C的坐标为(3,0)。
3. 求抛物线的解析式：
设抛物线的顶点式为y=a(x-3)²，将点A(0,2)代入解析式，得：
a·(0-3)² =2 →9a=2 →a=2/9。
因此，该抛物线对应的函数解析式为y=(2/9)(x-3)²。
【答案】
y=(2/9)(x-3)²
【知识点】
平行四边形性质、抛物线顶点式、函数解析式
【点评】
本题结合平行四边形的性质与抛物线的对称性，利用顶点式求解抛物线解析式，核心是确定抛物线的顶点坐标和对称轴，需掌握平行四边形对边平行且相等、抛物线对称点的性质，属于中等难度的函数综合题。
【难度系数】
0.5
【分析】
四边形OAPB为矩形，其周长可表示为2倍的邻边长度之和。设点P的横坐标为x，因P在第一象限的抛物线上，故纵坐标可由抛物线表达式表示，将周长转化为关于x的二次函数，再利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
设点P的坐标为$(x, y)$，其中$x＞0$，$y＞0$，且$y=-x^2 + x + 3$。
因为四边形OAPB是矩形，所以$OA=x$，$OB=y$，则周长$C=2(OA + OB)=2(x + y)$。
将$y=-x^2 + x + 3$代入周长公式：
$C=2(x + (-x^2 + x + 3))= -2x^2 + 4x + 6$。
对于二次函数$C=-2x^2 +4x +6$，其中$a=-2＜0$，函数开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-2)}=1$，
将$x=1$代入得：$C=-2×1^2 +4×1 +6=8$。
即四边形OAPB的周长最大值为8。
【答案】
C
【知识点】
二次函数最值、矩形周长
【点评】
本题将几何图形的周长最值问题转化为二次函数的最值问题，核心是建立周长与点坐标的函数关系，利用二次函数性质求解，难度适中。
【难度系数】
0.5
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