第59页 - 通成学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

C

B

2

5

 解：

 (1) 由题意得$\begin{cases}-\frac{b}{2a}=-1,\\a+b+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=-2,\\c=3.\end{cases}$

 $\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2-2x+3。$

 (2) 在抛物线的对称轴上取点$M，$连接$MA,MB,MC。$

 $\because M$是抛物线的对称轴上一点，$\therefore MA=MB。$

 $\therefore MA+MC$的最小值即为$MB+MC$的最小值，直线$BC$与对称轴直线$x=-1$的交点即为$M，$$MB+MC$的最小值即为$BC$的长。

 $\because$ 抛物线$y=-x^2-2x+3$的对称轴为直线$x=-1，$$A(1,0)，$$\therefore B(-3,0)。$

 设直线$BC$对应的函数解析式为$y=kx+d，$把$C(0,3)，$$B(-3,0)$代入，得

 $\begin{cases}d=3,\\-3k+d=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\d=3.\end{cases}$

 $\therefore$ 直线$BC$对应的函数解析式为$y=x+3。$

 把$x=-1$代入$y=x+3，$得$y=2，$$\therefore M(-1,2)。$

 由题意得$OB=3，$$OC=3，$在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=3\sqrt{2}。$

 $\therefore$ 距离之和的最小值为$3\sqrt{2}。$

 (3) $\because P(x_1,n),Q(x_2,n)，$$\therefore PQ$与$x$轴平行。

 $\therefore$ 点$P,Q$关于对称轴直线$x=-1$对称。

 又$\because PQ=2m，$$x_1＜x_2，$$\therefore x_1=-1-m，$$x_2=-1+m。$

 $\therefore x_1^2-mx_2-3m+6=(-1-m)^2-m(-1+m)-3m+6=1+2m+m^2+m-m^2-3m+6=7。$

【分析】要比较二次函数上点的函数值大小，需先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据“开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大”的性质，计算各点到对称轴的距离，进而判断函数值的大小关系。
【解析】解：对于二次函数$y=2x^2 +8x +7$，
1. 确定抛物线的基本性质：二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上；对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×2}=-2$。
2. 计算各点到对称轴$x=-2$的距离：
点A的横坐标为$-2$，距离为$\vert -2 - (-2)\vert=0$；
点B的横坐标为$-5\frac{1}{3}=-\frac{16}{3}$，距离为$\vert -\frac{16}{3} - (-2)\vert=\vert -\frac{10}{3}\vert=\frac{10}{3}$；
点C的横坐标为$-1\frac{1}{5}=-\frac{6}{5}$，距离为$\vert -\frac{6}{5} - (-2)\vert=\vert \frac{4}{5}\vert=\frac{4}{5}$。
3. 比较距离大小：$\frac{10}{3}＞\frac{4}{5}＞0$，结合抛物线开口向上的性质，离对称轴越远函数值越大，因此函数值大小关系为$y_2＞y_3＞y_1$。
【答案】C
【知识点】二次函数的性质
【点评】本题考查二次函数函数值的比较，核心是利用对称轴和开口方向，通过点到对称轴的距离判断函数值，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.5

【分析】首先根据“好点”的定义，好点的横、纵坐标相等，即满足$y=x$，因此将$y=x$代入二次函数解析式，可得到关于$x$的方程。题目要求该二次函数对任意常数$t$都有两个“好点”，说明这个关于$x$的一元二次方程有两个不相等的实数根，且该条件需对所有$t$恒成立，因此需要将方程整理为关于$t$的二次式，利用二次函数恒正的性质，通过判别式求解$a$的取值范围。
【解析】由“好点”的定义可知，好点满足$y=x$，将其代入二次函数$y=ax^2+tx-2t$，得：
$x=ax^2+tx-2t$，
整理为一元二次方程的标准形式：$ax^2+(t-1)x-2t=0$。
因为二次函数$y=ax^2+tx-2t$恒有两个“好点”，所以上述方程有两个不相等的实数根，且该条件对任意常数$t$恒成立。
对于一元二次方程$ax^2+(t-1)x-2t=0$，其判别式$\Delta=(t-1)^2 -4× a×(-2t)=t^2 + (8a-2)t +1$，需满足$\Delta＞0$对任意常数$t$恒成立。
将$\Delta$视为关于$t$的二次函数$f(t)=t^2 + (8a-2)t +1$，要使$f(t)＞0$对任意$t$恒成立，需满足：
1. 二次项系数$1＞0$（函数开口向上）；
2. 判别式$\Delta'=(8a-2)^2 -4×1×1 ＜0$（函数图像与$t$轴无交点，恒在$t$轴上方）。
展开并化简$\Delta'$：
$(8a-2)^2 -4 ＜0$，
$64a^2 -32a +4 -4 ＜0$，
$64a^2 -32a ＜0$，
$32a(2a -1) ＜0$，
解得$0 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$。
又因为原函数是二次函数，故$a≠0$，因此$a$的取值范围是$0 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$。
【答案】B
【知识点】二次函数的性质、一元二次方程根的判别式、新定义问题
【点评】本题属于新定义题型，核心是理解“好点”的定义并转化为方程根的问题，再结合恒成立条件利用二次函数判别式求解，需注意二次函数的二次项系数不为0，是一道考查逻辑转化能力的中档题。
【难度系数】0.4

【分析】
要解决本题，需先利用抛物线平移规律得到平移后的解析式，再代入已知点坐标推导a、b的关系式，最后通过整体代入法计算所求代数式的值。具体步骤：1. 明确抛物线上下平移时解析式的变化规则；2. 将已知点代入平移后的解析式，整理出a、b的关系；3. 对所求代数式变形，利用整体代入思想计算结果。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
抛物线 $ y = ax^2 + bx + 3 $ 向下平移5个单位，根据“抛物线向下平移k个单位时，解析式为原解析式的y值减k”，可得平移后的解析式为：
$ y = ax^2 + bx + 3 - 5 = ax^2 + bx - 2 $
2. 代入已知点推导a、b的关系：
因为平移后的抛物线经过点 $(-2,4)$，将 $ x=-2 $，$ y=4 $ 代入平移后的解析式：
$ 4 = a · (-2)^2 + b · (-2) - 2 $
计算得：$ 4 = 4a - 2b - 2 $
移项整理：$ 4a - 2b = 6 $，两边同除以2得：$ 2a - b = 3 $
3. 计算所求代数式的值：
对 $ 6a - 3b -7 $ 变形，提取公因式得：
$ 6a - 3b -7 = 3(2a - b) -7 $
将 $ 2a - b = 3 $ 代入上式：
$ 3 × 3 -7 = 9 -7 = 2 $
【答案】
2
【知识点】
抛物线平移，代数式求值
【点评】
本题结合抛物线平移规律与代数式整体代入求值，重点考查函数平移性质的应用，整体代入的思想简化了计算过程，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过建立平面直角坐标系，利用抛物线的解析式求解两盏景观灯的水平距离。首先根据题目条件确定抛物线的顶点和端点坐标，设抛物线的顶点式解析式并求出具体表达式；再结合景观灯距离水面的高度，代入解析式得到对应横坐标，最后计算两个横坐标的差值即可得到水平距离。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：以水面为x轴，桥洞底部中点为原点，竖直向上为y轴正方向。由题意可知，抛物线两端点坐标为$(0,1)$和$(10,1)$，抛物线的顶点（最高点）坐标为$(5,5)$。
2. 设抛物线的顶点式解析式：$ y = a(x - 5)^2 + 5 \ (a≠0) $。
3. 求系数$a$：将端点$(0,1)$代入解析式，得$1 = a(0 - 5)^2 + 5$，解得$a = -\frac{4}{25}$，因此抛物线解析式为$ y = -\frac{4}{25}(x - 5)^2 + 5 $。
4. 求景观灯的横坐标：景观灯距离水面4m，即$y=4$，代入解析式得：
$4 = -\frac{4}{25}(x - 5)^2 + 5$，整理得$(x - 5)^2 = \frac{25}{4}$，开方得$x - 5 = ±\frac{5}{2}$，解得$x_1=7.5$，$x_2=2.5$。
5. 计算水平距离：两盏景观灯的水平距离为$|7.5 - 2.5| = 5 \, m$。
【答案】
5
【知识点】
二次函数的应用；平面直角坐标系
【点评】
本题结合实际拱桥场景考查二次函数的应用，核心是建立合适的坐标系并利用抛物线顶点式求解解析式，再通过解析式得到对应点坐标，属于中等难度的实际应用问题，需掌握二次函数顶点式的应用方法。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题包含三个小问题：
1. 求抛物线解析式：已知抛物线的对称轴、经过的两个点，利用待定系数法，结合对称轴公式和已知点坐标列方程组，求解系数得到解析式。
2. 求对称轴上使MA+MC最小的点M及最小值：利用抛物线的对称性，点A关于对称轴的对称点为B，故MA=MB，将MA+MC的最小值转化为MB+MC的最小值，即线段BC的长度，直线BC与对称轴的交点即为M，先求直线BC解析式，再求交点坐标，计算BC长度得到最小值。
3. 求代数式的值：因为P、Q纵坐标相同，故关于抛物线对称轴对称，结合PQ的长度得出x₁和x₂的表达式，代入代数式化简计算得到结果。
【解析】
(1) 设抛物线解析式为$y=ax^2+bx+c$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}-\dfrac{b}{2a}=-1 \\ a+b+c=0 \\ c=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1 \\ b=-2 \\ c=3\end{cases}$，因此抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2-2x+3$。
(2) 由抛物线解析式得对称轴为直线$x=-1$，令$y=0$，解方程$-x^2-2x+3=0$，得$x=1$或$x=-3$，故点B坐标为$(-3,0)$。
根据抛物线对称性，点A关于对称轴的对称点为B，因此$MA=MB$，则$MA+MC=MB+MC$，其最小值为线段BC的长度，直线BC与对称轴的交点即为点M。
设直线BC解析式为$y=kx+d$，代入$B(-3,0)$、$C(0,3)$得：
$\begin{cases}d=3 \\ -3k+d=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1 \\ d=3\end{cases}$，直线BC解析式为$y=x+3$。
将$x=-1$代入$y=x+3$，得$y=2$，故点M坐标为$(-1,2)$。
在$Rt△ BOC$中，$OB=3$，$OC=3$，则$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，即距离之和的最小值为$3\sqrt{2}$。
(3) 因为点$P(x_1,n)$和$Q(x_2,n)$在抛物线上且纵坐标相同，故P、Q关于对称轴$x=-1$对称，又$PQ=2m$，$x_1＜x_2$，因此$x_1=-1-m$，$x_2=-1+m$。
代入代数式：
$x_1^2 - mx_2 -3m +6 = (-1-m)^2 - m(-1+m) -3m +6$
展开化简：$1+2m+m^2 +m -m^2 -3m +6=7$。
【答案】
(1) $y=-x^2-2x+3$；(2) 点M坐标为$(-1,2)$，距离之和最小值为$3\sqrt{2}$；(3) $7$
【知识点】
二次函数解析式、二次函数对称性、最短路径问题
【点评】
本题是二次函数综合题，综合考查待定系数法、对称转化思想及二次函数性质，解题关键是利用对称性转化最短路径问题，结合对称点坐标关系化简代数式。
【难度系数】
0.5