第79页

信息发布者：
A
D
4
200
解：
(1)
∵$A(-2,0)，$$C(6,0)，$
∴$AC=8。$
又
∵$AC=BC，$
∴$BC=8。$
∵$∠ ACB=90°，$
∴$B(6,8)。$
设直线$AB$对应的函数解析式为$y=ax+b，$将$A(-2,0)，$$B(6,8)$代入得：
$\begin{cases}-2a + b = 0\\6a + b = 8\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$
∴直线$AB$对应的函数解析式为$y=x+2。$
将$D(m,4)$代入$y=x+2，$得$4=m+2，$解得$m=2，$即$D(2,4)。$
将$D(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}，$得$4=\frac{k}{2}，$解得$k=8。$
(2) 延长$NP$交$y$轴于点$Q，$交$AB$于点$L。$
∵$AC=BC，$$∠ ACB=90°，$
∴$∠ BAC=45°。$
∵$PN// x$轴，
∴$∠ BLN=∠ BAC=45°，$$∠ NQM=90°。$
∵$PM// AB，$
∴$∠ MPL=∠ BLP=45°，$
∴$∠ QMP=∠ QPM=45°，$
∴$QM=QP。$
设点$P$的坐标为$(t,\frac{8}{t})，$其中$2＜t＜6，$
则$PQ=t，$$PN=6-t，$
∴$MQ=PQ=t。$
∴$S_{△ PMN}=\frac{1}{2}PN· MQ=\frac{1}{2}(6-t)· t=-\frac{1}{2}(t-3)^2+\frac{9}{2}。$
∴当$t=3$时，$S_{△ PMN}$有最大值$\frac{9}{2}，$此时点$P$的坐标为$(3,\frac{8}{3})。$
【分析】首先根据正方形OABC的面积求出边长，确定点B的坐标；再将点B坐标代入反比例函数解析式求出k值，得到函数表达式；最后根据y≥2的条件，结合反比例函数性质解不等式，确定x的取值范围。
【解析】
1. 确定点B的坐标：
因为四边形OABC是面积为4的正方形，正方形面积=边长²，所以边长OA=AB=√4=2，因此点B的坐标为(2,2)。
2. 求反比例函数解析式：
函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$经过点B(2,2)，将B代入解析式得：$2=\dfrac{k}{2}$，解得$k=4$，即反比例函数为$y=\dfrac{4}{x}$。
3. 求解x的范围：
要求$y≥2$，即$\dfrac{4}{x}≥2$，因为$x＞0$，两边同乘x不等号方向不变，得$4≥2x$，解得$x≤2$，结合$x＞0$，所以x的取值范围是$0＜x≤2$。
【答案】A
【知识点】反比例函数性质、正方形性质、不等式求解
【点评】本题结合正方形与反比例函数的基础知识点，解题核心是先确定点B坐标求出反比例函数解析式，再解不等式，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【分析】
首先根据∠AOB=∠ABO=45°，判定△AOB为等腰直角三角形，得到AB=AO且∠BAO=90°；接着构造辅助线，过点A作平行于x轴的直线，过点B作该直线的垂线，证明构造出的两个直角三角形全等；利用全等三角形的性质得到对应边相等，结合点A的横坐标和双曲线解析式表示出点A、B的坐标；最后将点B坐标代入双曲线解析式，通过解方程求出k的值，注意双曲线在第二象限，k为负数，从而确定正确选项。
【解析】
1. 判定△AOB的形状：
∵ ∠AOB=∠ABO=45°，
∴ AB=AO，∠BAO=180°-45°-45°=90°，即△AOB是等腰直角三角形。
2. 构造辅助线并证明全等：
过点A作MN//x轴，交y轴于点N；过点B作BM⊥MN，垂足为M，则∠BMA=∠ANO=90°。
∵ ∠BAO=90°，
∴ ∠MAB + ∠NAO=90°；又∠MAB + ∠MBA=90°，
∴ ∠MBA=∠NAO。
在△BMA和△ANO中：
$\{\begin{array}{l}∠MBA=∠NAO \\∠BMA=∠ANO \\AB=OA\end{array} $
∴ △BMA≌△ANO（AAS），得BM=AN，AM=ON。
3. 表示点A、B的坐标：
∵ 点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，横坐标为-1，且A在第二象限，
∴ A(-1, -k)，AN=1，ON=-k。
由全等得BM=AN=1，AM=ON=-k，因此点B的坐标为(-1+k, -k-1)。
4. 代入双曲线解析式求解k：
∵ 点B在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴ $-k-1=\frac{k}{-1+k}$，
两边乘(-1+k)得：$(-k-1)(-1+k)=k$，
化简得：$1 -k^2 =k$，整理为$k^2 +k -1=0$，
解得：$k=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$。
∵ 双曲线在第二象限，
∴ k＜0，舍去正根$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，得$k=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
【答案】
D

【知识点】
反比例函数、全等三角形、等腰直角三角形
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，核心是通过构造全等三角形将线段关系转化为坐标关系，进而利用反比例函数性质建立方程求解，需要学生具备几何转化和代数运算能力，是一道中等难度的综合题。
【难度系数】
0.4
【分析】
要解决本题，需先根据图像和题意确定一次函数与反比例函数交点A、B的坐标：由题意知两函数交点A、B的横坐标分别为1和4，结合反比例函数解析式可得出A、B的坐标；再利用一次函数经过A、B两点，将两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k和b的方程组，解方程组即可求出k的值。
【解析】
解：根据题意，一次函数$y_1=(k-5)x + b$与反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的交点A、B的横坐标分别为1和4，因此：
A点坐标为$(1, k)$，B点坐标为$(4, \frac{k}{4})$。
将A、B两点代入一次函数解析式，得方程组：
$\begin{cases}(k - 5) × 1 + b = k \\(k - 5) × 4 + b = \frac{k}{4}\end{cases}$
化简第一个方程：$k -5 + b = k$，解得$b=5$。
将$b=5$代入第二个方程：
$4(k -5) +5 = \frac{k}{4}$
展开整理：
$4k -20 +5 = \frac{k}{4} \\4k -15 = \frac{k}{4} \\两边同乘4得：16k -60 = k \\15k =60 \\k=4$
【答案】
4
【知识点】
反比例函数与一次函数交点、待定系数法求解析式
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数交点的性质，核心是利用交点坐标代入函数解析式建立方程组求解参数，属于基础应用题型，解题关键是准确确定交点坐标。
【难度系数】
0.5
【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题，首先根据“度数y与焦距x成反比例”设出反比例函数解析式，再利用图像上的已知点求出解析式中的常数k，接着分别计算焦距调整前后对应的度数，最后求两者的差值即可得到度数减少量。
【解析】
1. 设反比例函数解析式：因为近视眼镜度数$ y $与镜片焦距$ x $成反比例关系，所以设$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $）。
2. 求常数$ k $：由图像可知，函数过点$(0.2, 500)$，将$ x=0.2 $，$ y=500 $代入解析式得：$ 500 = \frac{k}{0.2} $，解得$ k = 500 × 0.2 = 100 $，因此函数解析式为$ y = \frac{100}{x} $。
3. 计算调整前后的度数：
当$ x=0.25\ \mathrm{m} $时，$ y = \frac{100}{0.25} = 400 $（度）；
当$ x=0.5\ \mathrm{m} $时，$ y = \frac{100}{0.5} = 200 $（度）。
4. 求度数减少量：$ 400 - 200 = 200 $（度）。
【答案】
200
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是确定函数解析式后代入计算，属于基础应用题，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题分为两小问，第(1)问先根据A、C的坐标求出AC长度，结合AC=BC和直角条件确定B点坐标，用待定系数法求直线AB解析式，代入D点纵坐标得m，再将D点代入反比例函数求k；第(2)问设P点坐标，利用平行线和等腰直角三角形性质得到相关线段长度，进而表示△PMN面积，转化为二次函数求最值，注意P点横坐标范围。
【解析】
(1) 已知A(-2,0)，C(6,0)，则AC=6 - (-2)=8。
∵ AC=BC，∠ACB=90°，
∴ BC=8，B(6,8)。
设直线AB解析式为y=ax+b，代入A、B坐标得：
$\begin{cases}-2a + b = 0 \\6a + b = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\b=2\end{cases}$，故AB解析式为y=x+2。
∵ D(m,4)在AB上，代入得4=m+2，解得m=2，即D(2,4)。
将D(2,4)代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{2}$，解得k=8。
(2) 设P(t,$\frac{8}{t}$)，反比例函数中BC为x=6，得E(6,$\frac{4}{3}$)，故2＜t＜6。
延长NP交y轴于Q，
∵ PN//x轴，
∴ Q(0,$\frac{8}{t}$)，N(6,$\frac{8}{t}$)，则PN=6-t，PQ=t。
∵ PM//AB，AB斜率为1，
∴ △MQP为等腰直角三角形，MQ=PQ=t。
△PMN面积$S=\frac{1}{2}×PN×MQ=\frac{1}{2}(6-t)·t=-\frac{1}{2}(t-3)^2+\frac{9}{2}$。
当t=3时，S最大值为$\frac{9}{2}$，此时P(3,$\frac{8}{3}$)。
【答案】
(1) m=2，k=8；(2) △PMN面积最大值为$\frac{9}{2}$，此时P(3,$\frac{8}{3}$)

【知识点】
反比例函数、一次函数、二次函数最值
【点评】
本题综合考查函数解析式求解、几何性质转化及二次函数最值，是中考常见的函数与几何结合题型，需掌握待定系数法和等腰直角三角形的性质应用。
【难度系数】
0.5
上一页 下一页