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A
B
C
B
5
$2\sqrt{3}$
6
(1) 证明：
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}，$
∴ OD⊥AC。
又
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，即BC⊥AC。
∴ OD//BC。
(2) 解：由
(1)知OD⊥AC，
∴ $AE=CE=\frac{1}{2}AC=5。$
设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-4。
在Rt△AOE中，$OA^2=OE^2+AE^2，$即$R^2=(R-4)^2+5^2，$
∴ $R=\frac{41}{8}。$
又
∵ O，E分别为AB，AC的中点，
∴ $OE=\frac{1}{2}BC。$
∴ $BC=2OE=2×(\frac{41}{8}-4)=\frac{9}{4}$
【分析】要解决本题，需明确圆内一点的弦长范围：过圆内一点的弦中，最长弦是圆的直径，最短弦是垂直于该点与圆心连线的弦。先计算出最长和最短弦的长度，再对比选项即可判断不可能的弦长。
【解析】1. 计算过点A的最长弦：圆的直径是最长弦，已知⊙O半径为5，因此直径长为2×5=10，即最长弦长为10；2. 计算过点A的最短弦：过点A作垂直于OA的弦BC，连接OB，OB为半径5，OA=3，OA⊥BC，根据垂径定理，AB=AC；在Rt△OAB中，由勾股定理得AB=√(OB² - OA²)=√(5² - 3²)=4，因此最短弦BC=2×4=8；3. 综上，经过点A的弦长范围是8≤弦长≤10，选项中7不在该范围内，故不可能的弦长为7。
【答案】A
【知识点】垂径定理，圆的弦长性质
【点评】本题考查圆内弦长的最值问题，核心是利用垂径定理和勾股定理求出过圆内一点的最长与最短弦长，进而确定弦长范围，属于基础几何题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】0.6
【分析】
要计算$\overset{\frown}{AC}$的长，需先求出$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC$的度数。通过连接$BC$，利用垂直平分线的性质得到$BC=OB$，结合扇形半径相等的性质，可判断$△ OBC$为等边三角形，进而求出$∠ BOC$，最终算出$∠ AOC$，再用弧长公式求解。
【解析】
连接$BC$。
∵ $BD ⊥ OC$，且$OD=DC$，
∴ $BD$是$OC$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得：$BC=OB$。
∵ 扇形$OAB$的半径$OA=OB=OC=3$，
∴ $OB=OC=BC=3$，即$△ OBC$是等边三角形，
∴ $∠ BOC=60°$。
又
∵ $∠ AOB=80°$，
∴ $∠ AOC=∠ AOB - ∠ BOC=80° - 60°=20°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），
则$\overset{\frown}{AC}$的长为：$\frac{20×π×3}{180}=\frac{π}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线性质、等边三角形判定、弧长计算
【点评】
本题结合扇形性质，利用垂直平分线构造等边三角形，进而求出圆心角，再用弧长公式计算弧长，关键是确定$∠ AOC$的度数，属于中等难度的几何计算题，考查学生对几何性质和弧长公式的掌握。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，需通过辅助线结合圆的性质、角平分线性质推导角度，再转化阴影面积。步骤如下：1. 连接OD，利用OA=OD和AD平分∠BAC，推出OD//AC，结合∠C=90°得OD⊥BC；2. 由AB长度和圆半径求出OB，在Rt△ODB中得∠B=30°，进而得∠DOB=60°，再由OD//AC得∠BAC=60°；3. 由OA=OF和∠BAC=60°，判断△OAF为等边三角形，得∠AOF=60°；4. 利用同底等高三角形面积相等，将阴影面积转化为扇形OAF的面积，计算扇形面积即可。
【解析】
连接OD，
∵ OA=OD（⊙O的半径），
∴ ∠OAD=∠ODA。
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ ∠OAD=∠CAD，
∴ ∠ODA=∠CAD，
∴ OD//AC（内错角相等，两直线平行）。
∵ ∠C=90°，即AC⊥BC，
∴ OD⊥BC，∠ODB=90°。
∵ ⊙O的半径为2，
∴ OA=OD=OF=2，
又AB=6，
∴ OB=AB - OA=6-2=4。
在Rt△ODB中，OD=2，OB=4，
∴ sinB = OD/OB = 2/4 = 1/2，
∴ ∠B=30°，
∴ ∠DOB=90° - 30°=60°。
∵ OD//AC，
∴ ∠BAC=∠DOB=60°（两直线平行，同位角相等）。
又OA=OF=2，
∴ △OAF是等边三角形，
∴ ∠AOF=60°。
观察图形，△DFA与△OFA同底（AF）等高（D、O到AF的距离相等，因OD//AC），故S△DFA=S△OFA，因此阴影部分面积=S△DFA + S弓形AF = S△OFA + S弓形AF = S扇形OAF。
计算扇形OAF的面积：
S扇形OAF = (60°/360°) × π × r² = (1/6) × π × 2² = 2π/3。
【答案】
C
【知识点】
圆的性质、扇形面积计算、平行线判定与性质
【点评】
本题通过辅助线将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，关键在于利用角平分线和圆的半径推导平行关系与角度，需掌握圆的基本性质和扇形面积公式，综合性适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
【分析】要解决本题，需利用圆锥的核心性质：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于底面圆的周长。首先，矩形ABCD被分割为正方形ABFE和矩形EFCD，设AB的长为$x\ \mathrm{cm}$，则正方形ABFE的边长为$x$，故$ED=AD - AE=12 - x\ \mathrm{cm}$；扇形是圆心角为$90°$的扇形，半径为AB=x，其弧长可根据弧长公式计算；矩形EFCD中最大的圆的直径等于矩形的较短边（即ED的长度，保证圆最大），再结合弧长等于圆周长的等量关系列方程求解。
【解析】设AB的长为$x\ \mathrm{cm}$，
∵四边形ABFE是正方形，
∴$AE=AB=x\ \mathrm{cm}$，因此$ED=AD - AE=(12 - x)\ \mathrm{cm}$。根据题意，扇形的弧长等于底面圆的周长：
1. 扇形是圆心角为$90°$的扇形，弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，代入得弧长为$\frac{90π x}{180}=\frac{π x}{2}$；
2. 矩形EFCD中最大的圆的直径等于矩形的较短边$ED=(12 - x)\ \mathrm{cm}$，故圆的周长为$π × (12 - x)$；
3. 由弧长等于圆周长，列方程：$\frac{π x}{2} = π (12 - x)$，两边同除以$π$得$\frac{x}{2}=12 - x$，解得$x=8$。因此AB的长为$8\ \mathrm{cm}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】圆锥的弧长与底面周长关系、正方形与矩形性质
【点评】本题将矩形分割与圆锥的几何性质结合，关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长这一核心关系，同时需明确矩形内最大圆的直径等于矩形较短边，是一道基础的几何应用题。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决本题，需运用圆周角定理和直角三角形的性质。首先，同弧所对的圆周角相等，因此弧AC对应的∠ADC和∠ABC相等；再结合AB是直径，直径所对的圆周角为直角，可得到直角三角形ACB，利用直角三角形中30°角的性质求出直径，进而得到半径。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，因为∠ADC与∠ABC都是弧AC所对的圆周角，所以∠ABC = ∠ADC = 30°。
2. 由于AB是⊙O的直径，依据“直径所对的圆周角是直角”，可得∠ACB = 90°，即△ACB为直角三角形。
3. 在Rt△ACB中，∠ABC = 30°，∠ACB = 90°，AC = 5 cm。根据直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可知AC = ½ AB，因此AB = 2×AC = 2×5 = 10 cm。
4. ⊙O的半径为直径AB的一半，即半径 = AB÷2 = 10÷2 = 5 cm。
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理；直角三角形性质
【点评】
本题结合圆周角定理与直角三角形的性质求解，核心是利用同弧圆周角相等和直径所对圆周角为直角构造直角三角形，难度中等，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决这道题，分两小问逐步分析：
1. 当点D在线段AC上时，先利用含30°角的直角三角形性质求出AC的长度，结合⊙A半径得到AD的长度，进而算出CD的长度；再判断△BCD的形状，利用E是CD中点的条件，结合直角三角形或等边三角形的性质计算BE的长。
2. 当点D在⊙A上运动时，通过取AC中点构造三角形中位线，得到BN和EN的长度，再利用三角形三边关系求出BE的最大值。
【解析】
第一问：点D在线段AC上时
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ BAC=30°$，$BC=4$，根据“直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半”，得$AC=2BC=8$。
因为$\odot A$的半径为4，所以$AD=4$，则$CD=AC-AD=8-4=4$，故$AD=CD=4$。
又$∠ ACB=90°-∠ BAC=60°$，$BC=4$，所以$△ BCD$中，$BC=CD=4$，$∠ BCD=60°$，即$△ BCD$是等边三角形。
因为E是CD的中点，等边三角形三线合一，所以$BE⊥ CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
利用三角形面积关系：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AC· BE$，代入得$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=\frac{1}{2}×8× BE$，解得$BE=2\sqrt{3}$。
第二问：点D在⊙A上运动时
取AC的中点N，连接BN、EN。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，N是AC中点，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，得$BN=\frac{1}{2}AC=4$。
因为E是CD的中点，N是AC中点，所以EN是$△ ACD$的中位线，根据三角形中位线性质，$EN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2$。
根据三角形三边关系：$BE≤ BN+EN$，当且仅当B、N、E三点共线时取等号，所以$BE$的最大值为$BN+EN=4+2=6$。
【答案】
$2\sqrt{3}\quad 6$
【知识点】
直角三角形性质，三角形中位线，圆的性质
【点评】
本题结合直角三角形、圆和三角形中位线的知识点，分两种情况考查线段长度的计算，需要学生熟练运用相关几何性质，构造辅助线（取AC中点）是解题关键，体现了几何图形中线段最值的常用解法（利用三边关系）。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这道题，分两步：(1) 证明OD//BC，需利用弧相等的性质结合垂径定理，再结合直径所对圆周角为直角，得到两条直线都垂直于AC，从而证平行；(2) 求BC的长，先利用垂径定理得到AC中点，再设圆的半径，用勾股定理求出半径，最后利用三角形中位线定理计算BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，OD是$\odot O$的半径，
∴ 根据垂径定理，$OD⊥AC$。
又
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ 根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，即$∠ACB=90°$，也就是$BC⊥AC$。
∴ $OD$和$BC$都垂直于$AC$，故$OD//BC$。
(2) 解：
由(1)知$OD⊥AC$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴ $AE=CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$。
设$\odot O$的半径为$R$，则$OA=OD=R$，已知$DE=4$，所以$OE=OD - DE=R - 4$。
在$\mathrm{Rt}△AOE$中，根据勾股定理：$OA^2=OE^2 + AE^2$，
代入得：$R^2=(R - 4)^2 + 5^2$，
展开计算：$R^2=R^2 - 8R + 16 +25$，
消去$R^2$得：$0=-8R +41$，解得$R=\frac{41}{8}$。
∵ O是AB中点，E是AC中点，
∴ OE是$△ABC$的中位线，根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，即$OE=\frac{1}{2}BC$。
又$OE=R - DE=\frac{41}{8} -4=\frac{9}{8}$，
∴ $BC=2OE=2×\frac{9}{8}=\frac{9}{4}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
垂径定理；平行线的判定；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的综合题，结合垂径定理、圆周角定理、平行线判定及三角形中位线定理，考查学生对圆相关性质的综合应用能力，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
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