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A
D
C
$35°$
6
解：
(1) $\because OA=OC，$$\therefore ∠ A = ∠ OCA。$
$\therefore ∠ COD = ∠ A + ∠ OCA = 2∠ A。$
$\because ∠ D = 2∠ A，$$\therefore ∠ COD = ∠ D。$
$\because PD$与$\odot O$相切于点$C，$$\therefore OC⊥ PD，$即$∠ OCD=90°。$
$\therefore ∠ D = 45°。$
(2) 由
(1)可知，$∠ COD = ∠ D，$$\therefore OC = CD = 2。$
由勾股定理，得$OD = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}，$
$\therefore BD = OD - OB = 2\sqrt{2} - 2。$
A
【分析】
这道题考查圆的切线的判定与性质，解题思路是结合圆的切线的定义、判定定理和性质定理，逐一分析每个选项，找出表述错误的选项。需注意区分切线判定的关键条件，避免概念混淆。
【解析】
根据圆的切线相关定理和定义逐一分析选项：
1. 选项A：圆的切线判定要求直线需同时满足“过半径外端”和“垂直于该半径”两个条件，而“过半径一端的直线”可能经过半径的内端（圆心端），这样的直线不一定是圆的切线，故A说法错误；
2. 选项B：圆的切线性质定理明确“圆的切线垂直于过切点的半径”，该说法正确；
3. 选项C：符合圆的切线判定定理“过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，该说法正确；
4. 选项D：根据切线的等价定义，到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线，该说法正确。
综上，错误的说法是选项A。
【答案】
A
【知识点】
圆的切线判定、圆的切线性质
【点评】
本题为基础概念题，侧重考查圆的切线的核心定理，解题关键是准确记忆定理的完整条件，避免遗漏判定的必要条件，适合巩固圆的切线相关基础知识。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，需结合圆的切线性质、等腰三角形性质及三角形外角定理逐步推导：首先，AC是⊙O的切线，AB为直径，根据切线性质可得到直角；再利用半径相等得到等腰三角形，结合外角定理求出∠B的度数；最后在直角三角形ABC中，通过两锐角互余计算出∠C的度数。
【解析】
1. 因为AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以AC⊥AB，即∠BAC=90°。
2. 由于OD、OB都是⊙O的半径，故OD=OB，△OBD为等腰三角形，因此∠OBD=∠ODB。
3. ∠AOD是△OBD的外角，根据三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠AOD=∠OBD + ∠ODB=2∠OBD。已知∠AOD=80°，则∠OBD=80°÷2=40°。
4. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，根据直角三角形两锐角互余，得∠C=90° - ∠OBD=90° - 40°=50°。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，等腰三角形性质，三角形外角定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础几何题，解题核心是利用切线性质构造直角，再结合等腰三角形和外角定理推导角度，难度适中，属于学生易掌握的题型。
【难度系数】
0.6
【分析】
要判断各选项的正误，需结合圆的切线性质、角平分线性质、等腰三角形性质、平行线判定及圆心角与圆周角的关系逐步推导：首先利用切线性质得OD⊥DE，再结合角平分线和等腰三角形性质推出AE与OD的平行关系，进而判断AE⊥DE；根据圆心角与圆周角的关系计算∠BOD；最后通过直角三角形的边角关系分析DE与OD的长度，确定错误选项。
【解析】
解：
1. 因为DE是$\odot O$的切线，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以$OD⊥DE$，即$∠ ODE=90°$；
2. 已知AD平分$∠ BAC$，所以$∠ EAD=∠ OAD=25°$；
3. 又$OA=OD$（$\odot O$的半径相等），$△ OAD$为等腰三角形，故$∠ ODA=∠ OAD=25°$；
4. 由此得$∠ EAD=∠ ODA=25°$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AE// OD$；
5. 结合$OD⊥DE$，可推出$AE⊥DE$，因此选项A、B正确；
6. 根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，$∠ BOD=2∠ OAD=2×25°=50°$，故选项D正确；
7. 对选项C分析：在$Rt△ ADE$中，$∠ EAD=25°$，则$DE=AD·\sin25°$；在$△ OAD$中，$OA=OD=r$，$∠ AOD=180°-2×25°=130°$，由余弦定理得$AD=2r\cos25°$，代入得$DE=2r\cos25°·\sin25°=r\sin50°\approx0.766r$，而$OD=r$，显然$DE≠OD$，故选项C错误。
【答案】
C
【知识点】
圆的切线性质；平行线判定；圆心角与圆周角关系
【点评】
本题为教材变式题，综合考查圆的核心性质，需熟练运用切线、角平分线、等腰三角形等知识逐步推导，难度适中，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，需利用圆的切线性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质。首先连接切线对应的半径，构造直角三角形求出相关圆心角，再结合等腰三角形的角度关系推导所求角的度数。
【解析】
连接OD，
∵ CD与⊙O相切于点D，根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，
∴ OD⊥CD，即∠ODC=90°，
在△ODC中，已知∠C=20°，根据三角形内角和为180°，
∴ ∠DOC=180° - ∠ODC - ∠C = 180° - 90° - 20° = 70°，
又
∵ OD和OA都是⊙O的半径，故OD=OA，△ODA为等腰三角形，
∴ ∠CAD=∠ODA，
根据三角形外角的性质，∠DOC是△ODA的外角，等于与它不相邻的两个内角之和，即∠DOC=∠CAD + ∠ODA，
∴ ∠CAD = ∠DOC ÷ 2 = 70° ÷ 2 = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角性质
【点评】
本题结合圆的切线性质与三角形、等腰三角形的角度关系求解，属于基础几何题，重点考查对圆的切线性质的应用，步骤清晰易理解。
【难度系数】
0.6
【分析】首先，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可知BC是⊙O的切线，切点为B，因此OB⊥BC，△OBC是直角三角形。设⊙O的半径为r，则OB=OD=r，OC的长度为OD + CD = r + 4。接下来利用直角三角形的勾股定理，将已知的BC长度和OC、OB的表达式代入，建立方程求解半径。
【解析】设⊙O的半径为r，则OB=OD=r，OC = OD + CD = r + 4。
因为BC与⊙O相切于点B，所以OB⊥BC，即∠OBC=90°，△OBC为直角三角形。
根据勾股定理：OB² + BC² = OC²，代入BC=8，得：
$r^2 + 8^2 = (r + 4)^2$
展开等式右边：$r^2 + 64 = r^2 + 8r + 16$
两边消去$r^2$，整理得：$8r = 48$，解得$r = 6$。
【答案】6
【知识点】切线的性质、勾股定理
【点评】本题结合切线性质与勾股定理求解圆的半径，核心是利用切线构造直角三角形，通过设未知数列方程解决问题，属于几何基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.3
【分析】
要解决这道题，需结合圆的半径性质、外角性质、切线性质以及勾股定理逐步推导：(1) 先利用OA=OC得到等腰三角形，结合外角性质得出∠COD与∠A的关系，再结合已知∠D=2∠A，得到∠COD=∠D，最后利用切线垂直于过切点的半径，推出△OCD是等腰直角三角形，从而求出∠D的度数；(2) 利用等角对等边得到OC=CD，再结合勾股定理算出OD的长度，最后用OD减去半径OB得到BD的长。
【解析】
(1)
∵ OA=OC（⊙O的半径相等），
∴ ∠A=∠OCA。
∵ ∠COD是△AOC的外角，
∴ ∠COD=∠A+∠OCA=2∠A。
又
∵ ∠D=2∠A，
∴ ∠COD=∠D。
∵ PD切⊙O于点C，
∴ OC⊥PD（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），即∠OCD=90°。
在△OCD中，∠OCD=90°，∠COD=∠D，
∴ △OCD是等腰直角三角形，因此∠D=45°。
(2) 由(1)知∠COD=∠D，根据等角对等边得OC=CD=2。
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=√(OC² + CD²)=√(2² + 2²)=2√2。
∵ OB=OC=2（⊙O的半径），
∴ BD=OD - OB=2√2 - 2。
【答案】
(1) ∠D的度数为45°；(2) BD的长为2√2 - 2。
【知识点】
圆的切线性质，等腰三角形，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规综合题，核心考查切线性质、等腰三角形判定及勾股定理的应用，解题关键是通过角的关系推导等腰直角三角形，属于初中几何的典型中档题型，注重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.6
【分析】要判断哪个条件不能使DE成为⊙O的切线，需依据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，因此需证OD⊥DE。已知DE⊥AC，故只需证OD//AC即可。接下来逐一分析各选项能否推出OD//AC，进而判断是否能使DE为切线，找出不正确的选项。
【解析】要使DE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需OD⊥DE。已知DE⊥AC，所以只需OD//AC。
选项B：AB=AC，AB为⊙O直径，故∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角），即AD⊥BC，又AB=AC，所以D是BC中点。O是AB中点，因此OD是△ABC的中位线，得OD//AC，结合DE⊥AC，得OD⊥DE，故DE是切线，B正确。
选项C：CD=DB，即D是BC中点，O是AB中点，同理OD是△ABC中位线，OD//AC，得OD⊥DE，DE是切线，C正确。
选项D：AC//OD，已知DE⊥AC，故DE⊥OD，OD是半径，DE是切线，D正确。
选项A：DE=DO，仅说明两线段长度相等，无法推出OD⊥DE，不能得到DE是切线，故A不正确。
【答案】A
【知识点】切线的判定、三角形中位线定理、平行线的性质
【点评】本题为条件开放型选择题，需结合切线判定定理及相关几何性质逐一分析选项，考查学生的逻辑推理与知识应用能力，属于中等难度题目。
【难度系数】0.5
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