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$(30-x)$
$(40+4x)$
解：
依题意，得$(30-x)(40+4x)=1500，$
整理得$x^2-20x+75=0，$
解得$x_1=5，$$x_2=15。$
∵要尽快减少库存、增加盈利，
∴选择降价幅度更大的解，即$x=15。$
答：每件T恤衫应降价15元。
解：
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2，$
得$(-1-1)×(-1-2)=m^2，$即$m^2=6，$
解得$m=\pm\sqrt{6}。$
将$m^2=6$代回原方程得$(x-1)(x-2)=6，$
整理为$x^2-3x-4=0，$解得$x_1=-1，$$x_2=4，$
因此$x_2=4，$$m=\pm\sqrt{6}。$
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：$x^2-3x+2-m^2=0。$
判别式$\Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0，$因此方程有两个不相等的实数根。
由韦达定理得$x_1+x_2=3，$$x_1x_2=2-m^2。$
则$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2。$
∵$m^2≥0，$
∴$-m^2≤0，$即$(x_1-1)(x_2-1)≤0。$
解：
(1) ① 解方程$x^2-4x-5=0，$因式分解得$(x-5)(x+1)=0，$
解得$x_1=5，$$x_2=-1，$则$|x_1-x_2|=6≠1，$
因此方程$x^2-4x-5=0$不是“差根方程”。
② 解方程$2x^2-2\sqrt{3}x+1=0，$由求根公式得$x=\frac{\sqrt{3}\pm1}{2}，$
即$x_1=\frac{\sqrt{3}+1}{2}，$$x_2=\frac{\sqrt{3}-1}{2}，$则$|x_1-x_2|=1，$
因此方程$2x^2-2\sqrt{3}x+1=0$是“差根方程”。
(2) 解方程$x^2+2ax=0，$因式分解得$x(x+2a)=0，$
解得$x_1=0，$$x_2=-2a。$
∵该方程是“差根方程”，
∴$|x_1-x_2|=|2a|=1，$解得$a=\pm\frac{1}{2}。$
(3) 设$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+1=0(a＞0)$的两个实数根，
由韦达定理得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}，$$x_1x_2=\frac{1}{a}。$
∵该方程是“差根方程”，
∴$|x_1-x_2|=1。$
代入根差公式得$\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=1，$即$\sqrt{(-\frac{b}{a})^2-4·\frac{1}{a}}=1，$
两边平方整理得$b^2=a^2+4a。$
【分析】
首先，第(1)问需根据“利润=原盈利-降价金额”“销售量=原销售量+因降价多售的数量”直接推导代数式；第(2)问利用“总利润=每件利润×销售量”建立一元二次方程，再结合题目“尽快减少库存”的条件，对求出的方程解进行合理取舍，得到最终答案。
【解析】
(1) 原每件盈利30元，降价x元后，每件利润为$(30-x)$元；原每天售40件，每降1元多售4件，降价x元后多售$4x$件，故日均销售量为$(40+4x)$件。
(2) 根据总利润公式列方程：
$(30-x)(40+4x)=1500$
整理得：$x^2-20x+75=0$
因式分解得：$(x-5)(x-15)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=15$。
因要尽快减少库存，需销售量尽可能大：$x=5$时销量为$40+4×5=60$件，$x=15$时销量为$40+4×15=100$件，故取$x=15$。
【答案】
(1) $(30-x)$；$(40+4x)$ (2) 每件T恤衫应降价15元
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润问题，代数式的表示
【点评】
本题为典型的销售利润类应用题，考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找准等量关系列方程，同时需结合题目隐含条件（减少库存）取舍解，避免错解。
【难度系数】
0.7
【分析】
第(1)问，已知方程的一个根，将其代入原方程可求出$m$的值，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）或解方程即可求得另一个根$x_2$；第(2)问，先将原方程整理为标准一元二次方程形式，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再将待证式子展开，代入韦达定理的结果化简，结合平方的非负性完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)(-1-2)=m^2$，即$6=m^2$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
原方程化为$(x-1)(x-2)=6$，展开得$x^2-3x-4=0$。
由韦达定理，方程两根之和$x_1+x_2=3$，已知$x_1=-1$，故$x_2=3 - (-1)=4$。
(2) 将原方程整理为标准一元二次方程：$x^2-3x+2-m^2=0$。
因为$x_1,x_2$是方程的两根，由韦达定理得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
展开$(x_1-1)(x_2-1)$：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，代入韦达定理结果得：
$=(2-m^2)-3+1=-m^2$。
由于$m^2≥0$，故$-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；(2) $(x_1-1)(x_2-1)≤0$成立
【知识点】一元二次方程的根，韦达定理，一元二次方程的解法
【点评】本题综合考查一元二次方程的根的代入求解、韦达定理的应用，难度适中，关键是熟练掌握韦达定理及代数式化简技巧，适合中等水平学生解答。
【难度系数】0.6
【分析】
首先明确“差根方程”的定义：若一元二次方程的两个实数根满足$|x_1 - x_2|=1$，则该方程为“差根方程”。解题时，对于具体方程，可先求出两个根，计算其差的绝对值判断是否为1；若已知方程是差根方程求参数，需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），将$|x_1 - x_2|$转化为$\sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}$，再结合条件列方程求解。
【解析】
(1) 判断方程是否为“差根方程”
① 解方程$x^2 -4x -5=0$，因式分解得$(x-5)(x+1)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
计算根的差的绝对值：$|x_1 -x_2|=|5 - (-1)|=6≠1$，因此该方程不是“差根方程”。
② 解方程$2x^2 -2\sqrt{3}x +1=0$，由求根公式，判别式$\Delta=(-2\sqrt{3})^2 -4×2×1=4$，则根为$x=\frac{2\sqrt{3}±2}{4}=\frac{\sqrt{3}±1}{2}$，即$x_1=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$。
计算根的差的绝对值：$|x_1 -x_2|=\left|\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right|=1$，因此该方程是“差根方程”。
(2) 求参数$a$的值
解方程$x^2 +2ax=0$，因式分解得$x(x+2a)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2a$。
因方程是“差根方程”，故$|0 - (-2a)|=1$，即$|2a|=1$，解得$a=±\frac{1}{2}$。
(3) 探索$a$与$b$的数量关系
设$x_1,x_2$是方程$ax^2 +bx +1=0(a＞0)$的两个实根，由韦达定理得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{1}{a}$。
因方程是“差根方程”，故$|x_1 -x_2|=1$，结合公式$|x_1 -x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2 -4x_1x_2}$，代入得：
$\sqrt{(-\frac{b}{a})^2 -4×\frac{1}{a}}=1$，两边平方后整理得：$b^2=a^2 +4a$。
【答案】
(1) ① 不是；② 是；(2) $a=±\frac{1}{2}$；(3) $b^2=a^2+4a$
【知识点】
一元二次方程解法、韦达定理、新定义运算
【点评】
本题为新定义题型，核心是理解“差根方程”的定义，将根的差的绝对值转化为可计算的代数形式，考查一元二次方程求解与韦达定理的应用，需具备转化思想，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
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