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$105°$
解：​$(1) $​连接​$AC$​。
​$ $​因为​$AT$​是​$\odot O$​的切线，
所以​$AT⊥ AB$​，即​$∠ TAB=90°$​。
​$ $​又因为​$∠ ABT=50°$​，
所以​$∠ T=90°-∠ ABT=40°$​。
​$ $​因为​$AB$​是​$\odot O$​的直径，
所以​$∠ ACB=90°$​，
​$ $​因此​$∠ CAB=90°-∠ ABT=40°$​，
由同弧所对的圆周角相等可得
​$∠ CDB=∠ CAB=40°$​。
​$ (2) $​连接​$AD$​。
​$ $​因为​$∠ ABT=50°$​，​$BE=BC$​，
​$ $​所以​$∠ BCE=∠ BEC=\frac {1}{2}(180°-∠ ABT)=65°$​，
​$ $​因此​$∠ BAD=∠ BCE=65°$​。
​$ $​因为​$OA=OD$​，
所以​$∠ ODA=∠ BAD=65°$​。
又因为同弧所对的圆周角相等，
​$∠ ADC=∠ ABT=50°$​，
​$ $​所以​$∠ CDO=∠ ODA-∠ ADC=15°$​。
​$ A$​
解：​$(1) $​连接​$OC$​。
​$ $​因为​$OB=OC$​，
所以​$∠ OCB=∠ B$​。
​$ $​已知​$∠ BCN=2∠ B$​，
所以​$∠ OCN=∠ BCN+∠ OCB=3∠ B$​。
​$ $​因为​$\odot O$​与​$MN$​相切于点​$C$​，
所以​$OC⊥ MN$​，
即​$∠ OCN=90°$​，
​$ $​因此​$3∠ B=90°$​，
解得​$∠ B=30°$​。
​$ (2) $​设​$\odot O$​的半径为​$r$​，
即​$OA=OC=r$​。
​$ $​因为​$AM=2$​，
所以​$OM=OA+AM=r+2$​。
​$ $​因为​$OC⊥ MN$​，
所以​$∠ OCM=90°$​。
​$ $​由​$∠ B=30°$​，可得​$∠ AOC=2∠ B=60°$​，
​$ $​因此​$∠ OMN=90°-∠ AOC=30°$​，
​$ $​在​$Rt△ OCM$​中，​$OC=\frac {1}{2}OM$​，
即​$r=\frac {1}{2}(r+2)$​，
​$ $​解得​$r=2$​，
所以​$AB=2OA=4$​。
$2\sqrt{7}+1$
$\sqrt{5}+5$
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