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$3040.5π$
解：​$ (1) $​连接​$OD$​。
∵​$AB$​为​$⊙O$​的直径，
∴​$OA=OB$​。
∵​$AC=BC$​，
∴​$OC⊥ AB$​，即​$∠ AOC=90°$​。
∵​$OA=OD=OE$​，
∴​$∠ A=∠ ODA$​，​$∠ ODE=∠ OED$​，
∴​$∠ A+∠ ODA+∠ ODE+∠ OED$​
​$=360°-∠ AOC=270°$​，
∴​$2(∠ ODA+∠ ODE)=270°$​，
∴​$∠ ODA+∠ ODE=135°$​，
​$ $​即​$∠ ADE=135°$​。
​$ (2) $​连接​$OD$​。
∵​$∠ AOC=90°$​，​$D$​为​$AC$​的中点，​$AC=6$​，
∴​$OA=OD=AD=\frac {1}{2}AC=3$​，
∴​$△ AOD$​为等边三角形，
∴​$∠ AOD=60°$​，
∴​$∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=30°$​，
∴​$\overset {\frown }{DE}$​的长为​$\frac {30π×3}{180}=\frac {π}{2}$​。
解：​$ (1) $​直线​$BD$​与​$⊙O$​相切。理由如下：
​$ $​连接​$OB$​。
∵​$∠ ACB=60°$​，
∴​$∠ AOB=2∠ ACB=120°$​，
∴​$∠ BOD=180°-∠ AOB=60°$​。
∵​$∠ ADB=30°$​，
∴​$∠ OBD=180°-∠ BOD-∠ ADB=90°$​，
∴​$OB⊥ BD$​。
∵​$OB$​是​$⊙O$​的半径，
∴直线​$BD$​与​$⊙O$​相切。
​$ (2)$​∵​$∠ BOD=60°$​，
∴​$∠ BAD=\frac {1}{2}∠ BOD=30°$​。
∵​$∠ ADB=30°$​，
∴​$∠ BAD=∠ ADB$​，
∴​$BD=AB=4\sqrt {3}$​。
∵​$∠ OBD=90°$​，
∴​$OB=\frac {1}{2}OD$​。
​$ $​设​$OB=x$​，则​$OD=2x$​，
∴​$BD=\sqrt {OD^2-OB^2}=\sqrt {3}x$​，
∴​$\sqrt {3}x=4\sqrt {3}$​，
解得​$x=4$​，
即​$OB=4$​。
∴​$S_{△ OBD}=\frac {1}{2}OB· BD=8\sqrt {3}$​，
​$ S_{扇形OBE}=\frac {60π×4^2}{360}=\frac {8π}{3}$​，
∴​$S_{阴影}=S_{△ OBD}-S_{扇形OBE}$​
​$=8\sqrt {3}-\frac {8π}{3}$​。
​$ $​故阴影部分的面积为​$8\sqrt {3}-\frac {8π}{3}$​。
​$ B$​
$\frac{5π}{4}-\frac{3}{2}$
解：​$(1) $​取​$AD$​的中点​$E$​，连接​$OE$​。
∵​$OA⊥ OB$​，
∴​$∠ AOB=90°$​，
∴​$OE=AE=DE=\frac {1}{2}AD$​。
∵​$CD=\frac {1}{2}AD$​，
∴​$AE=CD$​。
∵​$OA=OC$​，
∴​$∠ OAE=∠ OCD$​。
​$ $​在​$△ OAE$​和​$△ OCD$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {OA}=OC \\∠ OAE=∠ OCD \\AE=CD \end {cases}$​
∴​$△ OAE≌△ OCD$​，
∴​$∠ AOE=∠ COD$​，​$OE=OD$​，
∴​$DE=OE=OD$​，即​$△ ODE$​是等边三角形，
∴​$∠ DOE=60°$​，
∴​$∠ COD=∠ AOE=∠ AOB-∠ DOE=30°$​，
​$ $​即​$∠ BOC=30°$​。
​$ (2) $​过点​$O$​作​$OF⊥ AC$​于点​$F$​，
​$ $​则​$∠ OFA=90°$​，​$AF=\frac {1}{2}AC$​。
∵​$∠ AOB=90°$​，​$∠ BOC=30°$​，
∴​$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=120°$​。
∵​$OA=OC$​，
∴​$∠ OAC=∠ OCA=\frac {1}{2}(180°-∠ AOC)=30°$​，
∴​$OF=\frac {1}{2}OA$​。
∵​$OA=2$​，
∴​$OF=1$​，
∴​$AF=\sqrt {OA^2-OF^2}=\sqrt {3}$​，
∴​$AC=2AF=2\sqrt {3}$​。
∵​$CD=\frac {1}{2}AD$​，
∴​$CD=\frac {1}{3}AC=\frac {2\sqrt {3}}{3}$​，
∴​$S_{△ OCD}=\frac {1}{2}CD· OF=\frac {\sqrt {3}}{3}$​。
∵​$OB=OA=2$​，
∴​$S_{扇形OBC}=\frac {30π×2^2}{360}=\frac {π}{3}$​，
∴线段​$BD$​、线段​$CD$​和​$\overset {\frown }{BC}$​围成的图形的面积
​$S=S_{扇形OBC}-S_{△ OCD}$​
​$=\frac {π-\sqrt {3}}{3}$​。
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