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​$ C$​
解：分类讨论如下：
​$ ① $​若​$\odot M$​在直线​$y=x$​上方与直线​$y=x$​相切，
设切点为​$B$​，连接​$MB$​，则​$MB ⊥ OB$​。
​$ $​过点​$M$​作​$MA ⊥ x$​轴于点​$A$​，与​$OB$​交于点​$C$​。
​$ $​易知​$MB=\sqrt {2}$​，​$∠ MCB=∠ OCA=∠ COA=45°$​。
​$ $​在​$Rt△ MCB$​中，​$BC=MB=\sqrt {2}$​，
由勾股定理得​$MC=2$​。
​$ $​又点​$M$​的横坐标始终为​$3$​，
所以​$AC=OA=3$​，
因此​$MA=MC+AC=5$​，点​$M$​向下运动了​$1$​个
单位长度。
​$ $​已知点​$M$​的运动速度为每秒​$0.5$​个单位长度，
因此​$\odot M$​运动的时间为​$1÷0.5=2(\mathrm {s})$​。
​$ ② $​若​$\odot M$​在直线​$y=x$​下方与直线​$y=x$​相切，
设切点为​$D$​，连接​$MD$​，过点​$M$​作​$x$​轴的垂线，
交直线​$y=x$​于点​$E$​，交​$x$​轴于点​$F$​。
​$ $​因为点​$M$​的横坐标始终为​$3$​，
且​$∠ EOF=∠ DEF=45°$​，
所以​$EF=OF=3$​，​$DE=DM=\sqrt {2}$​。
​$ $​在​$Rt△ DEM$​中，由勾股定理得​$EM=2$​，
因此​$MF=EF-EM=1$​，
点​$M$​向下运动了​$5$​个单位长度。
​$ $​则​$\odot M$​运动的时间为​$5÷0.5=10(\mathrm {s})$​。
综上所述，​$\odot M$​运动的时间为​$2\ \mathrm {s}_{或}10\ \mathrm {s}$​。

解：​$(1) $​设​$CE=t$​，
由折叠的性质得​$∠ AED=∠ CED$​，​$AE=CE=t$​。
​$ $​因为​$OA=8$​，
所以​$OE=OA-AE=8-t$​。
​$ $​又​$∠ COE=90°$​，
由勾股定理得​$OC^2+OE^2=CE^2$​，
已知​$OC=4$​，代入得：
​$ 4^2+(8-t)^2=t^2$​
​$ $​解得​$t=5$​，
因此​$AE=CE=5$​。
​$ $​因为四边形​$OABC$​是矩形，
所以​$BC// OA$​，可得​$∠ CDE=∠ AED$​，
因此​$∠ CDE=∠ CED$​，即​$CD=CE=5$​，
所以点​$D$​的坐标为​$(5，4)$​。
​$ $​设直线​$AD$​的函数表达式为​$y=kx+b$​，
将点​$A(8，0)$​，​$D(5，4)$​代入得：
​$ \begin {cases}8k+b=0\\5k+b=4\end {cases}$​
​$ $​解得​$\begin {cases}k=-\frac {4}{3}\\b =\frac {32}{3}\end {cases}$​，
因此直线​$AD$​的函数表达式为​$y=-\frac {4}{3}x+\frac {32}{3}$​。
​$ (2) ① $​证明：因为​$BC// OA$​，
所以​$∠ DCA=∠ CAO$​。
​$ $​由折叠的性质得​$CD=AD$​，
因此​$∠ DCA=∠ DAC$​，
可得​$∠ DAC=∠ CAO$​，即​$AC$​平分​$∠ DAO$​。
​$ $​所以​$AC$​上的点到直线​$AO$​和直线​$AD$​的距离相等，
即点​$M$​到直线​$AO$​和直线​$AD$​的距离相等。
​$ $​又因为​$\odot M$​始终与​$x$​轴相切，
所以点​$M$​到直线​$AO$​的距离为​$\odot M$​的半径，
因此点​$M$​到直线​$AD$​的距离也等于​$\odot M$​的半径，
故直线​$AD$​与​$\odot M$​相切。
​$ ② \odot M$​能与​$y$​轴也相切，推导如下：
​$ $​若​$\odot M$​与​$y$​轴相切，则点​$M$​到​$y$​轴的距离等于​$\odot M$​的半径。
​$ $​设​$\odot M$​的半径为​$r$​，
先求直线​$AC$​的函数表达式：
​$ $​设直线​$AC$​的解析式为​$y=mx+n$​，
将点​$A(8，0)$​，​$C(0，4)$​代入得：
​$ \begin {cases}8m+n=0\\n =4\end {cases}$​
​$ $​解得​$\begin {cases}m=-\frac {1}{2}\\n =4\end {cases}$​，
因此直线​$AC$​的函数表达式为​$y=-\frac {1}{2}x+4$​。
​$ $​令​$y=r$​，代入得​$-\frac {1}{2}x+4=r$​，
解得​$x=8-2r$​，因此点​$M$​的坐标为​$(8-2r，r)$​。
​$ $​由点​$M$​到​$y$​轴的距离等于半径​$r$​，
可得​$|8-2r|=r$​，即​$8-2r=r$​或​$8-2r=-r$​，
解得​$r=\frac {8}{3}$​或​$r=8$​。
​$ $​对应点​$M$​的坐标为​$(\frac {8}{3}，\frac {8}{3})$​或​$(-8，8)$​。
​$ $​因此​$\odot M$​能与​$y$​轴也相切，
此时圆心​$M$​的坐标为​$(\frac {8}{3}，\frac {8}{3})$​或​$(-8，8)$​。
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