解:
(1) $\because$ 点$A(-1,3a-1)$与点$B(2b+1,-2)$关于$x$轴对称,
$\therefore 2b+1=-1,$$3a-1=2,$
解得$a=1,$$b=-1。$
$\therefore$ 点$A,B,C$的坐标分别是$(-1,2),(-1,-2),(3,-1)。$
$\because$ 点$C$与点$D$关于原点对称,
$\therefore$ 点$D$的坐标是$(-3,1)。$
(2) 所得四边形$ADBC$的面积为$\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×4×4=12。$