解：
(1) 在$y=x^2-4$中，当$x=0$时，$y=-4；$令$y=0，$则$x=2$或$x=-2，$
$\therefore$ 点$A，$$B，$$C$的坐标分别为$(-2,0)，$$(2,0)，$$(0,-4)。$
(2) 证明：$\because P$是抛物线在第四象限内的一点，$\therefore$ 设$P(m,m^2-4)(0<m<2)。$
直线$AP$对应的函数解析式为$y=k_1x+b_1。$
将$A(-2,0)，$$P(m,m^2-4)$代入$y=k_1x+b_1，$得
$\begin{cases}0=-2k_1+b_1\\m^2-4=mk_1+b_1\end{cases}，$解得$\begin{cases}k_1=m-2\\b_1=2m-4\end{cases}。$
$\therefore$ 直线$AP$对应的函数解析式为$y=(m-2)x+2m-4。$
在$y=(m-2)x+2m-4$中，令$x=0，$则$y=2m-4，$$\therefore E(0,2m-4)。$
设直线$BP$对应的函数解析式为$y=k_2x+b_2。$
将$B(2,0)，$$P(m,m^2-4)$代入$y=k_2x+b_2，$得
$\begin{cases}0=2k_2+b_2\\m^2-4=mk_2+b_2\end{cases}，$解得$\begin{cases}k_2=m+2\\b_2=-2m-4\end{cases}。$
$\therefore$ 直线$BP$对应的函数解析式为$y=(m+2)x-2m-4。$
在$y=(m+2)x-2m-4$中，令$x=0，$则$y=-2m-4，$$\therefore F(0,-2m-4)。$
$\therefore OE+OF=-(2m-4)-(-2m-4)=8，$为定值。
(3) $\because y=-mx+5m-4=m(5-x)-4，$
$\therefore$ 该一次函数的图象过定点$(5,-4)。$
设$T(5,-4)，$直线$AT$对应的函数解析式为$y=kx+b。$
$\therefore \begin{cases}0=-2k+b\\-4=5k+b\end{cases}，$解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{7}\\b=-\frac{8}{7}\end{cases}。$
$\therefore y=-\frac{4}{7}x-\frac{8}{7}。$
令$-\frac{4}{7}x-\frac{8}{7}=x^2-4，$解得$x_1=\frac{10}{7}，$$x_2=-2$（舍去）。
$\therefore$ 此时点$P$的横坐标$x_P=\frac{10}{7}。$
易知当$x_P≥\frac{10}{7}$时，对于函数$y=-mx+5m-4，$当$-2≤ x≤2$时，$y<0$不成立；当$x_P<\frac{10}{7}$时，对于函数$y=-mx+5m-4，$当$-2≤ x≤2$时，$y<0$成立。
$\therefore$ 点$P$的横坐标$x_P$的取值范围是$0<x_P<\frac{10}{7}。$
