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第15页

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 解：

 (1) $\because a<1，$$\therefore -12a>-12$

 $\therefore \Delta=(-4)^2-4a×3=16-12a>4>0$

 $\therefore$ 方程$ax^2-4x+3=0(a≠0)$有两个不相等的实数根。

 (2) 令$y=ax^2-4x+3，$由$1<x_1<2，$$2<x_2<3$知，$x_1,x_2$均大于0，则$x_1· x_2=\frac{3}{a}>0，$$\therefore a>0。$

 由题意可知，当$x=1$和$x=3$时，$y>0；$当$x=2$时，$y<0。$

 $\therefore \begin{cases} a-4+3>0,\\9a-12+3>0,\\4a-8+3<0,\end{cases}$

 解得$1<a<\frac{5}{4}。$

 (1) 证明：根据题意，设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)，$代入$y=\frac{k}{x}，$得$x_1· y_1=x_2· y_2=k，$

 $\therefore S_{△ AOM}=\frac{1}{2}x_1· y_1=\frac{k}{2}，$$S_{△ BON}=\frac{1}{2}x_2· y_2=\frac{k}{2}，$

 $\therefore S_{△ AOM}=S_{△ BON}。$

 (2) 解：由题意，得$2m=2n=k，$即$m=n=\frac{k}{2}，$$\therefore A(2,\frac{k}{2}),B(\frac{k}{2},2)。$

 过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E，$过点$B$作$BF⊥ x$轴于点$F。$

 $\because S_{△ AOB}+S_{△ BOF}=S_{\mathrm{梯形}AEFB}+S_{△ AOE}，$由

 (1)易得$S_{△ BOF}=S_{△ AOE}，$

 $\therefore S_{△ AOB}=S_{\mathrm{梯形}AEFB}=\frac{1}{2}·(2+\frac{k}{2})·(\frac{k}{2}-2)=16，$

 解得$k=12$或$k=-12$（不合题意，舍去）。

 $\therefore k=12。$