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D
$\frac{25}{12}$
证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E。
∵ ∠C = 90°，即OC⊥AC，AO 平分∠CAB，
∴ OC = OE。
同理，可得 OD = OE，
∴ OC = OD。

解：如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵ BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴ OD = OE = OF。
∵ $C_{△ ABC}=AB+AC+BC=13，$
$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}+S_{△ BCO}，$
∴ $\frac{1}{2}AB· OE + \frac{1}{2}AC· OF + \frac{1}{2}BC· OD =13，$
即 $\frac{1}{2}(AB+AC+BC)· OD =13，$
解得 $OD=2。$

$△ CDF$
​$ (1) $​证明：
∵​$ AD $​平分​$∠BAC$​，​$DE⊥AB$​，​$DF⊥AC$​，
∴​$ DE = DF$​，​$∠BED = ∠F = 90°$​。
​$ $​在​$Rt△BDE $​和​$ Rt△CDF $​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {BD} = CD， \\DE = DF， \end {cases}$​
∴​$ Rt△BDE ≌ Rt△CDF$​。
​$ (2) $​解：在​$Rt△ADE $​和​$ Rt△ADF $​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AD} = AD， \\DE = DF， \end {cases}$​
∴​$ Rt△ADE ≌ Rt△ADF$​。
∴​$ AE = AF$​。
∵​$ AE = 6\ \mathrm {cm}$​，
∴​$ AF = 6\ \mathrm {cm}$​。
∵​$ AC = 4\ \mathrm {cm}$​，
∴​$ CF = AF - AC = 2\ \mathrm {cm}$​。
​$ $​由​$ (1)$​可知​$ Rt△BDE ≌ Rt△CDF$​，
∴​$ BE = CF$​，
∴​$ BE = 2\ \mathrm {cm}$​。
【分析】
要判断各选项的正误，需结合题目给出的条件，利用直角三角形全等的判定定理推导。已知OM=ON，PM⊥OA、PN⊥OB，可证Rt△OMP与Rt△ONP全等，再根据全等三角形的性质分析各选项，注意题目未给出角度相关条件，不能随意推导角度。
【解析】
1. 由PM⊥OA，PN⊥OB，得∠OMP=∠ONP=90°，即△OMP和△ONP均为直角三角形。
2. 在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM=ON（已知），OP=OP（公共边），根据HL定理，可证Rt△OMP≌Rt△ONP，故选项A正确。
3. 由全等三角形对应角相等，得∠MOP=∠NOP，因此OP平分∠AOB，选项B正确。
4. 由全等三角形对应边相等，得PM=PN，选项C正确。
5. 题目未给出任何与∠OPM相关的角度条件，无法得出∠OPM=60°，故选项D错误。
综上，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定（HL）、角平分线的定义
【点评】
本题结合三角尺画角平分线的操作，考查直角三角形全等的判定及角平分线的性质，属于基础几何题，需熟练掌握全等三角形的判定定理，避免无依据的角度假设。
【难度系数】
0.7
【分析】
要计算△ABE的面积，需利用角平分线的性质建立高的关系。首先，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过E作BC和AB的垂线，这两条垂线段长度相等；接着，利用已知△BCE的面积和BC的长度，求出其中一条垂线段的长度，进而得到另一条垂线段的长度；最后，用AB和这条垂线段计算△ABE的面积。
【解析】
如图，过点E分别作$EG⊥ BC$，$EH⊥ AB$，垂足分别为G，H。
∵ BE平分$∠ ABC$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ $EG = EH$。
已知$S_{△ BCE}=\frac{5}{4}$，$BC=3$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$\frac{1}{2}× BC × EG = \frac{5}{4}$，代入$BC=3$，即$\frac{1}{2}×3×EG=\frac{5}{4}$，
解得$EG=\frac{5}{6}$。
∵ $EG=EH$，
∴ $EH=\frac{5}{6}$。
则$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB × EH = \frac{1}{2}×5×\frac{5}{6}=\frac{25}{12}$。
【答案】
$\frac{25}{12}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查角平分线性质的应用，通过作辅助线将面积问题转化为求高的问题，解题关键是利用角平分线得到两条垂线段相等，进而计算目标三角形的面积，属于基础几何题。
【难度系数】
0.5
【分析】要证明OC=OD，已知AD平分∠CAB，BC平分∠ABD，且∠C、∠D均为直角，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。通过过点O作AB的垂线，将OC、OD转化为该垂线段，再通过等量代换即可得出结论。
【解析】过点O作OE⊥AB于点E。
∵∠C=90°，即OC⊥AC，AD平分∠CAB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴OC=OE。
又
∵∠D=90°，即OD⊥BD，BC平分∠ABD，同理可得OD=OE。
∴OC=OD。
【答案】OC=OD
【知识点】角平分线的性质
【点评】本题利用角平分线的性质进行几何证明，通过作辅助线将待证线段转化为角平分线上的点到角两边的距离，是基础的几何证明题型，考查对性质的应用能力。
【难度系数】0.6
【分析】
要解决本题，需利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先作辅助线OE⊥AB、OF⊥AC，可得到OD=OE=OF；再将△ABC的面积拆分为△ABO、△ACO、△BCO的面积之和，结合已知的周长和面积，代入化简后即可求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，得OD=OE，OD=OF，即OD=OE=OF。
∵△ABC的面积等于三个小三角形面积之和，即$ S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}+S_{△ BCO} $，
∴$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OE + \frac{1}{2}AC· OF + \frac{1}{2}BC· OD $，
将OE=OF=OD代入，得$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)· OD $。
已知$ C_{△ ABC}=AB+AC+BC=13 $，$ S_{△ ABC}=13 $，
代入得：$ 13=\frac{1}{2}×13× OD $，
解得$ OD=2 $。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查角平分线的性质与三角形面积的拆分，核心是利用角平分线性质得到三条垂线段相等，将面积表达式转化为与周长相关的式子，进而求解，属于中等难度的基础题，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，首先利用角平分线的性质得到DE=DF，结合直角三角形全等的HL定理，证明△BDE与△CDF全等；再通过证明△ADE和△ADF全等得到AE=AF，进而求出CF的长度，最后利用全等三角形对应边相等得到BE=CF，从而算出BE的长。
【解析】
(1) 与△BDE全等的三角形是△CDF，证明如下：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，得DE=DF，且∠BED=∠F=90°。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} BD=CD, \\ DE=DF, \end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。
(2) 计算BE的长度：
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD, \\ DE=DF, \end{array} $
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF。
已知AE=6cm，故AF=6cm。
又
∵AC=4cm，
∴CF=AF - AC =6 -4=2cm。
由(1)中Rt△BDE≌Rt△CDF，得BE=CF，
∴BE=2cm。
【答案】
(1) △CDF；(2) 2cm
【知识点】
角平分线性质、直角三角形全等判定（HL）、线段长度计算
【点评】
本题综合考查角平分线的性质与直角三角形全等的判定，需熟练运用HL定理证明三角形全等，再利用全等性质转化线段求解，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
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