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【分析】
要解决该问题，可采用分类计数的思路避免重复或遗漏。解题时固定两个数中较大的数，从最大的数开始依次讨论，找出每个较大数对应的满足“两数之和大于6”的另一个数的个数，最后将所有个数相加即可得到总取法种数。
【解析】
当n=6时，从1~6中任取两个不同的数，要求两数之和大于6，按较大数分类讨论：
1. 若较大数为6：另一个数可以是1、2、3、4、5，共5种取法；
2. 若较大数为5：另一个数需满足与5的和大于6且小于5，即可以是2、3、4，共3种取法；
3. 若较大数为4：另一个数需满足与4的和大于6且小于4，即只能是3，共1种取法；
4. 若较大数≤3：两数相加最大为3+2=5＜6，没有符合要求的取法。
总取法种数k=5+3+1=9，也可枚举所有组合验证：{6,1},{6,2},{6,3},{6,4},{6,5},{5,2},{5,3},{5,4},{4,3}，共9种。
【答案】
9
【知识点】
分类计数；有理数加法；规律探究
【点评】
本题属于探究类基础题，核心考查有序计数的能力，通过固定较大数分类讨论的方法，能有效避免计数时出现重复或遗漏的问题，也可通过前面给出的小数值案例总结规律快速求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
找多个图案的共同特征，通常可从图形的对称性、面积、形状等角度入手思考：第一步先观察对称性，尝试将图案沿中线折叠，判断能否重合；第二步计算阴影部分面积，设定每个小方格面积为单位1，分别数出三个图案阴影面积对比；第（2）问设计图案时，只要满足你归纳出的两个共同特征即可。
【解析】
（1）① 对称性分析：观察三幅图，都存在至少一条直线，沿这条直线翻折后，直线两侧的阴影图案能够完全重合，说明三个图案都属于轴对称图形；
② 面积分析：设每个小正方形的面积为1：
图①阴影是4个完整的小正方形，总面积=4×1=4；
图②阴影由8个直角边为1的等腰直角三角形组成，每个三角形面积为$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，总面积=$8×\frac{1}{2}=4$；
图③阴影同样由8个上述等腰直角三角形组成，总面积也为4；
因此三个图案的涂色部分面积相等。
（2）设计图案时，只要保证图案是轴对称图形，且涂色部分面积为4即可，参考设计如下。
【答案】
答案不唯一，如(1) ① 沿一条直线翻折后，直线两侧的图案可以重合;② 涂色部分的面积之和相等 (2) 如图所示
【知识点】
轴对称图形识别、面积计算、图案设计
【点评】
本题属于开放性探究题，既考查对图形基础性质的观察归纳能力，也锻炼动手实践的创新能力，只要设计的图案符合归纳的共同特征即为正确。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先转化题目中的余数条件：每排5人多2人，即总人数加3可被5整除；每排6人多3人，即总人数加3可被6整除，因此总人数加3后是5和6的公倍数。我们先找出200以内5和6的所有公倍数，将公倍数减3得到总人数的候选值，再结合“每排4人少3人”（即总人数除以4余1）的条件逐一验证候选值，最后选出不超过200的最大符合值即可。
【解析】
解：① 求5和6的最小公倍数：5和6互质，最小公倍数为$5×6=30$。
② 列出200以内5和6的所有公倍数：30、60、90、120、150、180。
③ 结合前两个站队条件，总人数=公倍数-3，可得候选人数：
$30-3=27$（人），$60-3=57$（人），$90-3=87$（人），$120-3=117$（人），$150-3=147$（人），$180-3=177$（人）。
④ 验证“每排4人少3人”的条件：每排4人少3人即总人数除以4余1，分别计算：
$27÷4=6······3$，不符合；
$57÷4=14······1$，符合；
$87÷4=21······3$，不符合；
$117÷4=29······1$，符合；
$147÷4=36······3$，不符合；
$177÷4=44······1$，符合。
⑤ 比较符合条件的人数：$57＜117＜177$，且177＜200。
【答案】
177人
【知识点】
公倍数应用，有余数的除法，最小公倍数计算
【点评】
这是结合生活实际的余数探究题，解题核心是将不同的余数表述转化为公倍数相关的统一条件，先缩小候选数范围再逐一验证，能有效考查学生的条件转化能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 首先明确候场时间的定义：演员的候场时间是其参演节目开始前所有已彩排节目的时长总和。要求节目D演员的候场时间，只需将D之前的A、B、C三个节目的彩排时长相加即可。
(2) 要让23位演员的候场时间总和最小，核心逻辑是：总候场时间=每个节目演员人数×该节目之前的总彩排时长的累加和。首先可先确定部分节目的顺序：①演员人数相同的节目，时长更短的排在前面，能减少后续大量演员的等待时间，A和C都是10人，C时长20min短于A的30min，所以C排在A前面；②时长相同的节目，人数更多的排在前面，能减少后续更少人数的等待时间，B和D都是10min，B的2人多于D的1人，所以B排在D前面。接下来只需列出所有满足“C在A前、B在D前”的排列，分别计算总候场时间，比较得到最小值对应的顺序即可。
【解析】
(1) 按“A→B→C→D”顺序彩排，节目D开始前的总时长为A、B、C的彩排时长之和：$30+10+20=60(\mathrm{min})$，因此节目D的演员候场时间为60min。
(2) 总候场时间计算规则：每个节目的演员人数乘该节目之前所有节目的总时长，再相加求和。
首先确定排序规则：A、C演员人数相同，C时长更短，故C排在A前；B、D时长相同，B人数更多，故B排在D前。
列出所有符合上述规则的彩排顺序，分别计算总候场时间：
① 顺序$\mathrm{C}\to\mathrm{A}\to\mathrm{B}\to\mathrm{D}$：
总候场时间$=10×20 + 2×(20+30) + 1×(20+30+10) = 200 + 100 + 60 = 360(\mathrm{min})$
② 顺序$\mathrm{C}\to\mathrm{B}\to\mathrm{A}\to\mathrm{D}$：
总候场时间$=2×20 + 10×(20+10) + 1×(20+10+30) = 40 + 300 + 60 = 400(\mathrm{min})$
③ 顺序$\mathrm{C}\to\mathrm{B}\to\mathrm{D}\to\mathrm{A}$：
总候场时间$=2×20 + 1×(20+10) + 10×(20+10+10) = 40 + 30 + 400 = 470(\mathrm{min})$
④ 顺序$\mathrm{B}\to\mathrm{C}\to\mathrm{A}\to\mathrm{D}$：
总候场时间$=10×10 + 10×(10+20) + 1×(10+20+30) = 100 + 300 + 60 = 460(\mathrm{min})$
⑤ 顺序$\mathrm{B}\to\mathrm{C}\to\mathrm{D}\to\mathrm{A}$：
总候场时间$=10×10 + 1×(10+20) + 10×(10+20+10) = 100 + 30 + 400 = 530(\mathrm{min})$
⑥ 顺序$\mathrm{B}\to\mathrm{D}\to\mathrm{C}\to\mathrm{A}$：
总候场时间$=1×10 + 10×(10+10) + 10×(10+10+20) = 10 + 200 + 400 = 610(\mathrm{min})$
对比可知总候场时间最小为360min，对应顺序为$\mathrm{C}\to\mathrm{A}\to\mathrm{B}\to\mathrm{D}$。
【答案】
(1) $60$；(2) $\mathrm{C}\to\mathrm{A}\to\mathrm{B}\to\mathrm{D}$
【知识点】
有理数四则运算，最优方案选择，列举法
【点评】
本题结合生活实际场景，考查对新概念的理解和应用能力，第一问较为基础，直接计算即可；第二问需要先通过逻辑分析缩小排列范围，再通过列举计算对比得到最优结果，锻炼了逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6