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C
B
$h+an$
$25×6 - 6 = 6^2×4$
解：猜想第n个等式为$n^2(n+1)-(n+1)=(n+1)^2(n-1)。$
验证：
左边$=(n+1)(n^2 - 1)=(n+1)(n+1)(n-1)=(n+1)^2(n-1)，$
右边$=(n+1)^2(n-1)，$
左边=右边，该等式成立。
解：
(1) 三角尺涂色部分的面积为直角三角形的面积减去内部圆的面积：
直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab\ \mathrm{cm}^2，$内部圆的面积为$π r^2\ \mathrm{cm}^2，$
因此涂色部分的面积为$\boldsymbol{( \frac{1}{2}ab - π r^2 )\ \mathrm{cm}^2}。$
(2) 住宅的建筑面积为各区域面积之和：
左侧边长为$x$的正方形面积为$x^2\ \mathrm{m}^2，$左上方长为$x$宽为2的长方形面积为$2x\ \mathrm{m}^2，$右上方长为4宽为3的长方形面积为$3×4=12\ \mathrm{m}^2，$右下方长为3宽为2的长方形面积为$3×2=6\ \mathrm{m}^2，$
求和得总面积为$x^2 + 2x + 12 + 6 = \boldsymbol{(x^2 + 2x + 18)\ \mathrm{m}^2}。$
【分析】
要判断代数式$x+\frac{1}{y}$的意义，首先拆分代数式的运算结构：该式是加法运算，两个加数分别是$x$和$\frac{1}{y}$，其中$\frac{1}{y}$表示$y$的倒数。接下来逐一分析选项的文字描述对应的代数式，和题干代数式比对就能得出正确答案。
【解析】
先明确题干代数式$x+\frac{1}{y}$的运算逻辑：先求$y$的倒数$\frac{1}{y}$，再将$x$与$\frac{1}{y}$相加，即表示$x$与$y$的倒数的和。
对各选项逐一判断：
A. 某数与它的倒数的和，对应的代数式为$x+\frac{1}{x}$，与题干不符，错误；
B. $x$与$y$的和的倒数，对应的代数式为$\frac{1}{x+y}$，与题干不符，错误；
C. $x$与$y$的倒数的和，对应的代数式为$x+\frac{1}{y}$，与题干相符，正确；
D. $x$的倒数与$y$的倒数的和，对应的代数式为$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$，与题干不符，错误。
【答案】
C
【知识点】
代数式的意义；倒数的概念
【点评】
本题考查代数式与文字描述的对应关系，解题核心是明确运算的先后顺序，注意区分“和的倒数”“倒数的和”这类易混淆的表述，结合运算顺序准确对应代数式即可。
【难度系数】
0.9
【分析】
这道题需要我们逐个判断三个赋予$3a$实际意义的例子是否正确，核心是结合对应场景的数量关系来验证代数式是否正确。解题思路为：先回忆每个场景对应的数量公式，再将公式用字母表示出来，和$3a$对比，若不一致则该例子错误，最后统计错误例子的个数选择对应选项。
【解析】
我们逐个分析3个例子：
1. 分析例子①：总金额=单价×重量，已知葡萄单价3元/千克，重量是$a$千克，总金额就是$3×a=3a$元，因此①的表述正确。
2. 分析例子②：等边三角形周长=边长×3，已知边长为$a$，周长就是$3×a=3a$，因此②的表述正确。
3. 分析例子③：两位数的表示方法是“十位数字×10 + 个位数字”，若十位数字是3，个位数字是$a$，那么这个两位数应该是$3×10+a=30+a$，不是$3a$，因此③的表述错误。
综上，不正确的例子共有1个。
【答案】
B
【知识点】
代数式的实际意义；列代数式；两位数的表示
【点评】
本题重点考查代数式在不同场景下的实际含义，解题的关键是准确掌握对应场景的数量关系，其中两位数的数位意义是本题的易错点，不要误将十位数字直接和个位数字相乘表示两位数。
【难度系数】
0.8
【分析】
要推导n个纸杯叠放的总高度H，首先观察叠放纸杯的高度变化规律：首先注意到每多叠1个纸杯，不会增加完整的纸杯高度，只有杯口突出的部分会新增高度，这个新增高度就是a；再看基础高度，叠放时最下方的纸杯杯身固定高度为h，每个纸杯都会有1份高度a露在外部，因此总高度就是基础高度h加上n个a的和。
【解析】
观察图形可知：
1个纸杯的总高度为 $ h + a $；
2个纸杯叠放时，总高度为 $ h + a + a = h + 2a $；
3个纸杯叠放时，总高度为 $ h + a + a + a = h + 3a $；
……
以此类推，n个纸杯叠放时，总高度 $ H = h + an $。
【答案】
$ h+an $
【知识点】
列代数式，图形规律探究
【点评】
本题需要结合图形分析数量的变化规律，解题关键是找到“每增加1个纸杯，总高度增加a”的变化特点，再结合固定高度即可列出对应的代数式。
【难度系数】
0.7
【分析】
解决这类数式规律题，我们可以把每个等式拆分成多个组成部分，对应序号逐一找规律：①先看等号左侧第一个乘数：第1个是$1^2$，第2个是$2^2$，第3个是$3^2$，第4个是$4^2$，可得第k个等式的第一个乘数是$k^2$；②再看左侧第二个乘数和减数：第1个是$2=1+1$，第2个是$3=2+1$，第3个是$4=3+1$，第4个是$5=4+1$，可得第k个等式的第二个乘数和减数都是$k+1$；③最后看等号右侧：平方的底数和左侧第二个乘数一致为$k+1$，平方后乘的数第1个是$0=1-1$，第2个是$1=2-1$，第3个是$2=3-1$，第4个是$3=4-1$，可得乘的数是$k-1$。找到各部分规律后，代入$k=5$即可得到第5个等式，用n代替k就能得到第n个等式，最后可代入小的n值验证规律是否正确。
【解析】
（1）第5个等式对应序号$k=5$：
第一个乘数为$5^2=25$，第二个乘数为$5+1=6$，减数为6，等号右侧平方底数为6，乘的数为$5-1=4$，因此第5个等式为$25×6 - 6 = 6^2×4$。
（2）设等式序号为n（n为正整数）：
等号左侧：第一个乘数是$n^2$，第二个乘数是$n+1$，减数是$n+1$，因此左侧表达式为$n^2(n+1)-(n+1)$；
等号右侧：平方的底数是$n+1$，后面乘的数是$n-1$，因此右侧表达式为$(n+1)^2(n-1)$。
代入n=1、n=2验证，等式均成立，规律正确。
【答案】
(1) $25×6 - 6 = 6^2×4$
(2) $n^2(n+1)-(n+1)=(n+1)^2(n-1)$
【知识点】
数式规律探究，列代数式，整式验证
【点评】
本题是典型的规律探究类习题，核心解题方法是拆分等式结构，对应序号逐一分析各部分的变化特征，归纳得到通用表达式后可代入特殊值验证，能有效训练观察、归纳与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
【分析】
（1）求涂色三角尺的面积采用“整体减空白”的思路：先计算整个直角三角形的面积，再减去中间空白圆形的面积，即可得到涂色部分的面积。
（2）求住宅建筑面积采用“分割求和”的思路：将平面图分割为几个规则的长方形（含正方形），分别计算每个规则图形的面积，再相加得到总面积，分割方式合理即可。
【解析】
（1）直角三角形的两条直角边长分别为$a\ \mathrm{cm}$、$b\ \mathrm{cm}$，根据三角形面积公式，三角形面积为$\frac{1}{2}ab\ \mathrm{cm}^2$；
中间空白圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据圆的面积公式，圆的面积为$π r^2\ \mathrm{cm}^2$；
因此涂色部分面积为三角形面积减去圆的面积，即$(\frac{1}{2}ab - π r^2)\mathrm{cm}^2$。
（2）将住宅平面图分割为4个规则图形：
①边长为$x\ \mathrm{m}$的正方形，面积为$x^2\ \mathrm{m}^2$；
②长为$x\ \mathrm{m}$、宽为$2\ \mathrm{m}$的长方形，面积为$2x\ \mathrm{m}^2$；
③长为$4\ \mathrm{m}$、宽为$3\ \mathrm{m}$的长方形，面积为$4×3=12\ \mathrm{m}^2$；
④长为$3\ \mathrm{m}$、宽为$2\ \mathrm{m}$的长方形，面积为$3×2=6\ \mathrm{m}^2$；
将四个图形面积相加，得总面积为$x^2 + 2x + 12 + 6 = (x^2 + 2x + 18)\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $(\frac{1}{2}ab - π r^2)\mathrm{cm}^2$
(2) $(x^2 + 2x + 18)\mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式；常见图形面积计算；整式加减
【点评】
本题考查用代数式表示组合图形的面积，解题核心是熟练掌握三角形、圆、长方形等基础图形的面积公式，能根据图形特点选择合适的方法（整体减空白、分割求和）计算组合图形面积，属于列代数式相关的基础应用题。
【难度系数】
0.8
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