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【分析】
解决新定义运算类题目，首先要明确新运算的规则：本题中$a☆b$的运算规则是用第一个数乘第二个数的平方，减去2乘两个数的乘积，再加上第二个数。
(1) 求$(-4)☆7$时，直接对应规则里的$a=-4$，$b=7$，代入运算式，按照有理数混合运算顺序（先乘方、再乘除、最后加减）计算即可，注意符号处理。
(2) 求$x$的值时，先对应规则里的$a=1-3x$，$b=-4$，代入运算式后得到关于$x$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则：
$(-4)☆7=(-4)×7^2 - 2×(-4)×7 + 7$
先计算乘方：$7^2=49$，代入得：
$=(-4)×49 - 2×(-4)×7 + 7$
再计算乘法：$(-4)×49=-196$，$-2×(-4)×7=56$，代入得：
$=-196 + 56 + 7$
最后计算加减：
$=-133$
(2) 根据新运算规则，将$(1 - 3x)☆(-4)=32$展开：
$(1-3x)×(-4)^2 - 2×(1-3x)×(-4) + (-4)=32$
先计算乘方：$(-4)^2=16$，整理得：
$16(1-3x) + 8(1-3x) - 4=32$
合并同类项：
$24(1-3x) - 4=32$
移项：
$24(1-3x)=32 + 4$
$24(1-3x)=36$
两边同时除以24：
$1-3x=\frac{3}{2}$
移项、系数化为1：
$-3x=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$
$x=-\frac{1}{6}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-133}$；(2) $\boldsymbol{x=-\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、解一元一次方程
【点评】
本题是典型的新定义运算题型，解题核心是准确理解新运算的规则，正确代入对应数值或代数式，计算过程中要注意符号的处理，避免因符号错误导致结果出错，同时要熟练掌握一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）根据“美好方程”的定义，两个方程的解之和为1，因此先分别求出两个一元一次方程的解，再根据解的和为1列关于m的方程，求解即可得到m的值。
（2）已知其中一个解为n，根据“美好方程”的定义可表示出另一个解为1-n，两个解的差为8，需分两种情况讨论：要么(1-n)-n=8，要么n-(1-n)=8，分别求解即可得到n的两个可能值。
（3）先求出方程$\frac{1}{2026}x+1=0$的解，再根据“美好方程”的定义求出方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$的解；观察关于y的方程，可将$y-1$看作整体，发现其结构与方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$完全相同，因此$y-1$等于该方程的解，直接求解即可得到y的值，无需计算k，简化计算过程。
【解析】
（1）解方程$3x+m=0$，移项得$3x=-m$，系数化为1得$x=-\frac{m}{3}$；
解方程$4x-2=x+10$，移项得$4x-x=10+2$，合并同类项得$3x=12$，系数化为1得$x=4$。
根据“美好方程”的定义，两个方程的解之和为1，因此：
$-\frac{m}{3}+4=1$
移项得$-\frac{m}{3}=1-4=-3$
系数化为1得$m=9$。
（2）因为“美好方程”的两个解之和为1，其中一个解为$n$，所以另一个解为$1-n$。
已知两个解的差为8，分两种情况讨论：
①当$1-n - n = 8$时，合并同类项得$1-2n=8$，移项得$-2n=7$，解得$n=-\frac{7}{2}$；
②当$n - (1-n) = 8$时，去括号得$n-1+n=8$，合并同类项得$2n-1=8$，移项得$2n=9$，解得$n=\frac{9}{2}$。
综上，$n$的值为$-\frac{7}{2}$或$\frac{9}{2}$。
（3）解方程$\frac{1}{2026}x+1=0$，移项得$\frac{1}{2026}x=-1$，系数化为1得$x=-2026$。
因为方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2026}x+1=0$是“美好方程”，所以前者的解为$1 - (-2026) = 2027$。
观察关于$y$的方程$\frac{1}{2026}(y-1)+3=2(y-1)+k$，将$y-1$看作整体，可知其与方程$\frac{1}{2026}x+3=2x+k$结构完全相同，因此$y-1=2027$，解得$y=2028$。
【答案】
(1)$m=9$；(2)$n=-\frac{7}{2}$或$n=\frac{9}{2}$；(3)$y=2028$
【知识点】
一元一次方程求解，新定义问题，整体思想应用
【点评】
本题以新定义“美好方程”为载体，考查一元一次方程的解法及应用，题目设置由易到难，第三问通过整体思想简化运算，有效考查对知识的灵活运用能力和观察分析能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题的核心突破口是找到去掉每个数得到的和与五个数总和的关系：五个数中每次去掉一个数，得到的剩余四个数的和，本质是五个数的总和减去被去掉的数。将这五个去数后的和相加，每个数恰好被计算了4次（每个数仅在被去掉时不参与求和），因此五个去数后的和的总和等于4倍的五个数的总和。题目中仅给出4个不同的和，说明有一个和重复出现，我们可设五个数的总和为m，重复的和为x（x是45、46、47、48中的一个），结合总和m是整数的性质即可求解。
【解析】
设这五个正整数的和为$ m $，由于去掉任意一个数得到的5个和中只有4个不同值，说明有1个和重复出现，设重复的和为$ x $（$ x $为45、46、47、48中的一个）。
将5个去数后的和相加，每个数都在4个和中出现，因此总和为$ 4m $，可得等式：
$ 45+46+47+48+x = 4m $
计算已知和的部分：$ 45+46+47+48=186 $，即$ 4m = 186 + x $。
因为$ m $是正整数，所以$ 186+x $必须是4的倍数：
当$ x=45 $时，$ 186+45=231 $，231不是4的倍数，不符合；
当$ x=46 $时，$ 186+46=232 $，$ 232÷4=58 $，m为整数，符合；
当$ x=47 $时，$ 186+47=233 $，233不是4的倍数，不符合；
当$ x=48 $时，$ 186+48=234 $，234不是4的倍数，不符合。
因此$ m=58 $。
【答案】
58
【知识点】
整体思想，一元一次方程应用，整数整除性质
【点评】
本题侧重考察整体思维的应用，无需单独求出每个正整数的数值，通过挖掘去数后求和的隐藏规律建立方程，结合整数性质快速求解，有效降低了解题复杂度。
【难度系数】
0.6