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解:
(1) 设该中学购买$x$支创意钢笔时,甲、乙两家商店所需的费用相同。
若$x ≤ 10,$甲商店费用为$50x$元,乙商店费用为$50×0.8x=40x$元,此时$50x>40x,$费用不可能相等,因此$x>10。$
在甲商店购买$x(x>10)$支创意钢笔所需费用为:
$50×10 + 50×0.7(x-10) = 35x + 150$(元)
在乙商店购买$x$支创意钢笔所需费用为:
$50×0.8x = 40x$(元)
根据题意列方程:
$35x + 150 = 40x$
解得$x=30。$
答:该中学购买30支创意钢笔时,甲、乙两家商店所需的费用相同。
(2) 当购买40支创意钢笔时:
在甲商店需付款:$35×40 + 150 = 1550$(元)
在乙商店需付款:$40×40 = 1600$(元)
因为$1550 < 1600,$所以选择甲商店更省钱。
(3) 购买方案:
当该中学购买的创意钢笔数量少于30支时,选择乙商店购买更划算;
当该中学购买的创意钢笔数量恰好为30支时,甲、乙两家商店的费用相同,任选其一即可;
当该中学购买的创意钢笔数量多于30支时,选择甲商店购买更划算。
解:
(1) 设A型车从桂林到盐城的时间为$x$小时,则B型车从桂林到盐城的时间为$(x-4)$小时。
根据题意,得$60x=75(x-4),$
解得$x=20。$
答:A型车从桂林到盐城的时间为20小时。
(2) 设这批砂糖橘共有$y$吨。
根据题意,得$\frac{y}{8}=\frac{y-4}{7},$
解得$y=32。$
答:这批砂糖橘共有32吨。
(3) 由(1)得,桂林到盐城的路程为$60×20=1200$千米,
单独租用A型车的数量为$32÷8=4$辆,
B型车的行驶时间为$20-4=16$小时,
单独租用B型车的数量为$4+1=5$辆。
选用A型车的总费用为:
$1.5×1200×4 + 10×20×4 = 8000$元,
选用B型车的总费用为:
$1.5×1200×5 + 8×16×5 = 9640$元。
因为$8000<9640,$所以应该选用A型车使得总费用较少,较少的总费用是8000元。
【分析】
(1)要找两家费用相同的购买数量,首先判断数量范围:若购买数量不超过10支,甲店无优惠、乙店打8折,费用必然不同,因此购买数量一定大于10支。设购买数量为x支,分别表示出两家店的购买费用,令二者相等列一元一次方程求解即可。
(2)判断购买40支时哪家省钱,只需将x=40分别代入两家店的费用计算公式,算出费用后比较大小即可。
(3)以第(1)问求出的费用相等时的购买数量为分界点,分“购买数量小于分界值、等于分界值、大于分界值”三种情况讨论,分别判断哪家费用更低,得出最优方案。
【解析】
(1)设该中学购买x支创意钢笔时,甲、乙两家商店所需的费用相同。
由题意可知x>10,甲商店购买x支的费用:$50×10 + 50×0.7(x-10) = (35x + 150)$元,乙商店购买x支的费用:$50×0.8x = 40x$元。
根据费用相等列方程:$35x + 150 = 40x$,解得$x=30$。
(2)当购买40支时:
甲商店费用:$35×40 + 150 = 1550$元,乙商店费用:$40×40 = 1600$元。
因为$1550 < 1600$,所以选择甲商店更省钱。
(3)结合(1)的结论分情况讨论:
①购买数量少于30支时,选乙商店更划算;
②购买数量为30支时,两家商店费用相同,任选一家即可;
③购买数量多于30支时,选甲商店更划算。
【答案】
(1)该中学购买30支创意钢笔时,甲、乙两家商店所需的费用相同;
(2)购买40支创意钢笔时,选择甲商店更省钱;
(3)购买创意钢笔数量少于30支选乙商店,等于30支两家均可,多于30支选甲商店。
【知识点】
一元一次方程的应用,方案决策,代数式求值
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景,考查了列一元一次方程解应用题的能力和分类讨论思想,解题时要注意分段优惠的适用范围,准确列出不同场景下的费用表达式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
【分析】
(1) 求A型车行驶时间的核心是桂林到盐城的路程固定,A、B型车行驶路程相等。设A型车时间为x小时,B型车时间为(x-4)小时,根据“路程=速度×时间”列等式即可求解。
(2) 求砂糖橘总吨数的核心是单独租用A、B型车的数量相同。设总吨数为y吨,根据A型车租用数量等于B型车租用数量列方程即可求解。
(3) 比较两种车型总费用时,先根据第一问结果算出总路程,再分别计算租用A、B型车的车辆数,按照“总费用=路费+冷柜车使用费”公式分别计算两种方案的总费用,比较大小即可得出最优方案。
【解析】
(1) 设A型车从桂林到盐城的时间为$x$小时,则B型车的行驶时间为$(x-4)$小时。
由两车行驶路程相等,列方程:
$60x=75(x-4)$
解得:$x=20$
(2) 设这批砂糖橘共有$y$吨。
由租用A、B型车的数量相等,列方程:
$\frac{y}{8}=\frac{y-4}{7}$
解得:$y=32$
(3) 桂林到盐城的总路程:$60×20=1200$(千米)
租用A型车的数量:$32÷8=4$(辆)
A型车总费用:$1.5×1200×4 + 10×20×4 = 8000$(元)
租用B型车的数量:$32÷7=4$(辆)余4吨,故需$4+1=5$(辆),B型车行驶时间为$20-4=16$(小时)
B型车总费用:$1.5×1200×5 + 8×16×5 = 9640$(元)
因为$8000<9640$,所以租用A型车总费用更少。
【答案】
(1) A型车从桂林到盐城的时间为20小时;
(2) 这批砂糖橘共有32吨;
(3) 选用A型车总费用较少,较少的总费用是8000元。
【知识点】
一元一次方程应用,方案优化决策,行程问题计算
【点评】
本题结合实际运输场景出题,需要准确提取题目中的等量关系列方程求解,计算总费用时要注意车辆数、行驶时间、单位费用的对应,避免混淆数据导致计算错误,综合考查了方程应用和方案对比的能力。
【难度系数】
0.7