第128页 - 通城学典课时作业本七年级数学苏科版江苏专用

C

D

①

 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

AB

12

13

7

 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

CD

【分析】
解题核心是运用垂线段最短的性质，逐个分析选项：首先明确“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，再对每个选项中的两条线段，判断是否符合垂线段和斜线段的比较关系，没有明确条件支撑的大小关系就不成立。
【解析】
根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，逐一判断：
A. CD是点C到AB的垂线段，AD是点A到CD的垂线段，二者无必然大小关系，无法推出CD＞AD，故A错误；
B. AC、BC为Rt△ACB的两条直角边，题目未给出两边的长度相关条件，无法判断AC＜BC，故B错误；
C. 已知CD⊥AB，对于点B到直线CD的所有线段，BD是垂线段，BC是斜线段，根据垂线段最短可得BD＜BC，即BC＞BD，故C正确；
D. CD、BD为Rt△CDB的两条直角边，无额外条件无法判断CD＜BD，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题是垂线段性质的基础应用题，解题关键是找准对应直线外的点和对应的垂线段、斜线段，再结合性质判断大小即可。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先观察图形中的垂直关系，结合“垂线段最短”的性质分析BD与已知线段的大小关系：第一步，在$AD\bot BD$的关系中，BD是点B到直线AD的垂线段，AB是点B到AD的斜线段，可判断BD和AB的大小；第二步，在$BC\bot CD$的关系中，BC是点B到直线CD的垂线段，BD是点B到CD的斜线段，可判断BD和BC的大小；最后整合两个结论就能得到BD的取值范围。
【解析】
因为$AD\bot BD$，根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可得$BD＜AB$，已知$AB=5$，因此$BD＜5$。
因为$BC\bot CD$，同理可得$BD＞BC$，已知$BC=3$，因此$BD＞3$。
综上所述，BD的取值范围是$3＜BD＜5$。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题考查垂线段最短性质的应用，解题关键是准确识别垂直关系对应的垂线段和斜线段，进而比较线段长度，解题逻辑清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，首先明确：公路可看作一条直线，书店是这条直线外的一个点，题目需要找从书店到公路的最短路线，我们可以结合点到直线的线段的相关性质来判断。首先观察三条路线：路线①与公路垂直，是垂线段；路线②和③都是和公路相交的斜线段。回忆学过的垂线段相关性质，就能判断出最短路线，再对应写出理由即可。
【解析】
我们将公路看作一条直线，书店是该直线外的一点：
1. 观察三条路线可知，路线①是从书店向公路作的垂线段，路线②、③均为连接书店与公路上点的斜线段；
2. 根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，因此①号路线最短。
【答案】
①；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【知识点】
垂线段的性质；点到直线的距离
【点评】
本题结合生活场景考查垂线段性质的应用，属于基础概念类题目，只要牢记垂线段最短的性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题首先要明确点到直线距离的定义：从直线外一点向这条直线作垂线，该点到垂足之间的垂线段的长度就是点到直线的距离。解这道题分两步：第一步确定研究对象是点A到直线$l_2$的距离；第二步在图中找到过点A且垂直于$l_2$的垂线段，即可得出答案。
【解析】
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
本题中要求点A到直线$l_2$的距离，已知$AB⊥ l_2$，垂足为B，因此线段AB是点A到直线$l_2$的垂线段，即点A到直线$l_2$的距离是线段AB的长度。
【答案】
AB
【知识点】
点到直线的距离、垂线段的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是准确掌握点到直线距离的概念，解题时要注意找准对应的点和直线，避免和其他垂线段混淆。
【难度系数】
0.9

【分析】
解答本题需要先明确两个核心概念：①点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；②两点之间的距离：连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离。结合题目中AC⊥BC的垂直条件，先找到点A到BC的垂线段，即可得到对应距离；两点间的距离直接找对应线段的长度即可。
【解析】
1. 求点A到BC的距离：
已知AC⊥BC，垂足为C，因此点A到直线BC的垂线段是AC，根据点到直线的距离的定义，点A到BC的距离就是线段AC的长度，已知AC=12，故第一空填12。
2. 求点B与点A之间的距离：
根据两点之间的距离的定义，点B和点A之间的距离是线段AB的长度，已知AB=13，故第二空填13。
【答案】
12；13
【知识点】
点到直线的距离；两点间的距离
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是区分点到直线的距离和两点之间的距离的不同定义，结合题目给出的垂直关系和已知边长，可直接得出结果，注意距离是线段的长度，不是线段本身。
【难度系数】
0.9

【分析】
要解决这个问题，首先根据垂线段最短的性质确定CE的最小值，再结合E在线段AB上的条件，找到CE的最大值，得到CE的整数取值范围；接下来逐一分析每个整数值对应的E点位置，注意D右侧的CE最大为BC的长度，超过该长度的CE在右侧不存在对应点，最后统计总个数即可。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，根据垂线段最短的性质，可得CE的最小值为CD的长度，即$CE≥4$。
∵E是线段AB上的动点，$AC=8$，$BC=6$，且$8＞6$，
∴CE的最大值为AC的长度，即$CE≤8$。
∵CE的长为整数值，
∴CE的可能取值为4、5、6、7、8。
逐个分析每个取值对应的E点个数：
① 当$CE=4$时，仅当E与点D重合满足条件，共1个位置；
② 当$CE=5$时，$4＜5＜6$，在点D的左侧、右侧各存在1个满足条件的E点，共2个位置；
③ 当$CE=6$时，右侧的点与点B重合，同时点D左侧也存在1个满足条件的E点，共2个位置；
④ 当$CE=7$时，$7＞6$，D右侧的点连接C得到的CE最大为$BC=6＜7$，故右侧无符合条件的点，仅D左侧存在1个满足条件的E点，共1个位置；
⑤ 当$CE=8$时，仅当E与点A重合满足条件，共1个位置。
总位置数为$1+2+2+1+1=7$。
【答案】
7
【知识点】
垂线段最短，线段的性质
【点评】
本题易错点是容易忽略D右侧CE的最大值为BC的长度，误将CE=7对应的点算为2个，解题时需结合线段的取值范围判断点是否存在，避免多算。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 噪声大小和拖拉机到学校的距离直接相关，距离越近噪声越大，所以要找公路MN上到A、B距离最短的点。根据垂线段的性质，直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短，因此只要分别过A、B作MN的垂线，垂足就是所求的C、D点，依据就是垂线段最短的性质。
(2) 要找A处噪声越来越小、B处噪声越来越大的路段，就是找拖拉机距离A越来越远、同时距离B越来越近的路段：拖拉机从M向N行驶，过了A的垂足C之后，到A的距离逐渐变大，A处噪声变小；还没到B的垂足D之前，到B的距离逐渐变小，B处噪声变大，两个条件同时满足的路段就是CD段。
【解析】
(1) 作图步骤：
①过点A作AC⊥MN，垂足为C，此时AC是点A到MN的最短线段，拖拉机行驶到C点时，学校A听到的噪声最大；
②过点B作BD⊥MN，垂足为D，此时BD是点B到MN的最短线段，拖拉机行驶到D点时，学校B听到的噪声最大。
作图依据：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
(2) 分析不同路段的噪声变化：
拖拉机沿M到N方向行驶，在MC段时，到A、B的距离均逐渐减小，两处噪声都越来越大；在CD段时，到A的距离逐渐增大，A处噪声越来越小，到B的距离逐渐减小，B处噪声越来越大，符合要求；在DN段时，到A、B的距离均逐渐增大，两处噪声都越来越小。因此符合条件的是CD段。
【答案】
(1) 如图所示，点C，D即为所求

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
(2) CD
【知识点】
垂线段的性质，点到直线的距离
【点评】
本题结合生活中的噪声场景考查垂线段性质的实际应用，需要学生将实际问题转化为数学中的距离问题求解，侧重对基础性质的理解和应用能力的考查。
【难度系数】
0.8