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$-14$
$(12x-3)\mathrm{cm}^2$
$21\ \mathrm{cm}^2$
解：原式$=x^3 +2x^2y +4xy^2 -2x^2y -4xy^2 -8y^3 -x^3 +4xy^2 -2x^2y +8y^3 =4xy^2 -2x^2y。$
当$x=4,y=\frac{1}{2}$时，
原式$=4×4×(\frac{1}{2})^2 -2×4^2×\frac{1}{2}=4-16=-12。$
解：(1) 由题意，得$(2x-a)(3x+b)=6x^2 +2bx -3ax -ab=6x^2 +(2b-3a)x -ab=6x^2 +11x -10，$
$(2x+a)(x+b)=2x^2 +2bx +ax +ab=2x^2 +(2b+a)x +ab=2x^2 -9x +10。$
$\therefore \begin{cases} 2b-3a=11,\\ 2b+a=-9, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-5,\\ b=-2 \end{cases}。$
(2) 把$a=-5,b=-2$代入原式，得
$(2x-5)(3x-2)=6x^2 -4x -15x +10=6x^2 -19x +10。$
解：根据题意，得
$(x^3 +mx +n)(x^2 -3x +4)=x^5 -3x^4 +4x^3 +mx^3 -3mx^2 +4mx +nx^2 -3nx +4n$
$=x^5 -3x^4 +(4+m)x^3 +(n-3m)x^2 +(4m-3n)x +4n。$
$\because$ 展开的结果中不含$x^3$和$x^2$的项，
$\therefore \begin{cases} 4+m=0,\\ n-3m=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=-4,\\ n=-12 \end{cases}。$
(1) 证明：$\because (a+b)+(a-b)=a+b+a-b=2a$（定值），
$(a+b)·(a-b)=a^2 -b^2，$且$a^2$为定值，
$\therefore$ 当$b>0$时，$b^2$的值随$b$的增大而增大，则$a^2 -b^2$的值随$b$的增大而减小，即$b$越小乘积越大；当$b=0$时，乘积最大（两数相等）。
综上所述，两数和一定时，差的绝对值越小，乘积越大。
(2) 解：根据题意可知，长+宽$=20÷2=10(\mathrm{m})，$即为定值，
$\therefore$ 当长和宽相等时，差的绝对值为0，此时面积最大。
$\therefore$ 长$=$宽$=10÷2=5(\mathrm{m})，$最大面积为$5×5=25(\mathrm{m}^2)。$
【分析】本题需运用整体思想求解，先将所求代数式展开化简，整理为含已知条件$a-b$和$ab$的形式，再整体代入已知值计算即可。
【解析】先展开并化简代数式：
$\begin{aligned}(a+2)(b-2)&=ab -2a +2b -4\\&=ab -2(a - b) -4\end{aligned}$
将$a-b=3$，$ab=-4$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-4 -2×3 -4\\&=-4 -6 -4\\&=-14\end{aligned}$
【答案】$-14$
【知识点】整式的乘法、整体思想求代数式的值
【点评】本题通过整体思想简化计算，避免了求解$a$、$b$的具体值，是整式求值的常用技巧，体现了代数运算的灵活性。
【难度系数】0.6
【分析】
要解决这个问题，需先根据题意求出长方形原来的宽，再计算长、宽增加后的新长和新宽，通过“新面积 - 原面积”得到增加的面积，最后代入$x$的值计算具体结果。具体步骤：①先求原长方形的宽；②求长和宽增加后的新长、新宽；③分别计算原面积和新面积；④作差得到增加的面积表达式；⑤代入$x=2$求具体数值。
【解析】
1. 原长方形的宽：已知长为$2x\ \mathrm{cm}$，宽比长少$4\ \mathrm{cm}$，故宽为$(2x - 4)\ \mathrm{cm}$。
2. 长、宽增加后的新尺寸：新长为$(2x + 3)\ \mathrm{cm}$，新宽为$(2x - 4) + 3 = (2x - 1)\ \mathrm{cm}$。
3. 计算原面积和新面积：
原面积：$S_{原} = 长×宽 = 2x(2x - 4) = 4x^2 - 8x\ (\mathrm{cm}^2)$
新面积：$S_{新} = (2x + 3)(2x - 1) = 4x^2 - 2x + 6x - 3 = 4x^2 + 4x - 3\ (\mathrm{cm}^2)$
4. 计算增加的面积：$\Delta S = S_{新} - S_{原} = (4x^2 + 4x - 3) - (4x^2 - 8x) = 12x - 3\ (\mathrm{cm}^2)$
5. 代入$x=2$：$\Delta S = 12×2 - 3 = 21\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$(12x - 3)\mathrm{cm}^2$，$21\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
整式的混合运算、长方形面积公式
【点评】
本题是整式运算的基础应用题，结合长方形面积公式考查整式的乘法与加减，步骤明确，计算量适中，只要理清各量之间的关系，细心运算即可正确解答，属于代数应用的常规题型。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用多项式乘多项式的运算法则分别展开两个乘积项，再通过合并同类项将原式化简为最简形式，最后把给定的x、y的值代入化简后的式子计算结果。
【解析】
先展开两个乘积项：
1. 展开$(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$：
$=x^3+2x^2y+4xy^2-2x^2y-4xy^2-8y^3$
2. 展开$(x+2y)(x^2-4y^2)$：
$=x^3-4xy^2+2x^2y-8y^3$
再计算原式并合并同类项：
原式$=(x^3+2x^2y+4xy^2-2x^2y-4xy^2-8y^3)-(x^3-4xy^2+2x^2y-8y^3)$
$=x^3+2x^2y+4xy^2-2x^2y-4xy^2-8y^3-x^3+4xy^2-2x^2y+8y^3$
$=4xy^2-2x^2y$
代入$x=4,y=\dfrac{1}{2}$：
原式$=4×4×(\dfrac{1}{2})^2 -2×4^2×\dfrac{1}{2}$
$=4×4×\dfrac{1}{4} -2×16×\dfrac{1}{2}$
$=4 -16$
$=-12$
【答案】
$-12$
【知识点】
整式的乘法、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题考查整式化简求值的基础运算，核心是掌握多项式乘多项式法则和合并同类项方法，计算时需注意符号和同类项的准确合并，整体难度不大，是整式运算的典型基础题。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，需根据甲、乙的错误计算结果，利用多项式乘多项式法则展开式子，通过对应系数相等建立关于a、b的方程组，求出a、b后代入正确的整式乘法式计算结果。首先，甲看错了第一个多项式中的“+a”为“-a”，其计算结果对应展开式的系数关系；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，其计算结果也对应展开式的系数关系，联立两个关系即可解出a、b，再计算正确结果。
【解析】
(1) 根据题意：
甲的计算：$(2x -a)(3x +b)=6x^2 +2bx -3ax -ab=6x^2+(2b-3a)x -ab$，已知结果为$6x^2+11x-10$，因此对应系数相等得：$2b-3a=11$ ①；
乙的计算：漏抄第二个多项式x的系数，即计算$(2x+a)(x +b)=2x^2+2bx+ax+ab=2x^2+(2b+a)x +ab$，已知结果为$2x^2-9x+10$，对应系数相等得：$2b+a=-9$ ②；
联立①②组成方程组：$\begin{cases}2b-3a=11 \\2b+a=-9 \end{cases}$，用②-①消去2b得：$4a=-20$，解得$a=-5$；将$a=-5$代入②得：$2b-5=-9$，解得$b=-2$；
(2) 正确的整式乘法为$(2x+a)(3x+b)$，代入$a=-5$，$b=-2$得：
$(2x-5)(3x-2)=6x^2-4x-15x+10=6x^2-19x+10$；
【答案】
(1) $a=-5$，$b=-2$；(2) $6x^2-19x+10$
【知识点】
多项式乘多项式、二元一次方程组的应用
【点评】
本题通过整式乘法的错误结果考查多项式乘多项式法则，需准确展开式子并对应系数建立方程组，是整式乘法章节的典型题型，侧重考查学生的运算与逻辑分析能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】要解决这个问题，首先需将两个多项式相乘展开并合并同类项，得到展开式中各项的系数；由于展开结果不含$x^3$和$x^2$的项，说明这两项的系数为0，据此可列出关于$m$、$n$的二元一次方程组，解方程组即可求出$m$、$n$的值。
【解析】先将$(x^3+mx+n)(x^2-3x+4)$展开并合并同类项：
$\begin{aligned}&(x^3+mx+n)(x^2-3x+4)\\=&x^5 - 3x^4 + 4x^3 + mx^3 - 3mx^2 + 4mx + nx^2 - 3nx + 4n\\=&x^5 - 3x^4 + (4+m)x^3 + (n-3m)x^2 + (4m-3n)x + 4n\end{aligned}$
因为展开结果不含$x^3$和$x^2$的项，所以这两项的系数为0，可得方程组：
$\begin{cases}4 + m = 0\\n - 3m = 0\end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$m=-4$，将$m=-4$代入第二个方程，得$n - 3×(-4)=0$，解得$n=-12$。
【答案】$m=-4$，$n=-12$
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项；解二元一次方程组
【点评】本题考查多项式乘法的应用，核心是理解“多项式展开后不含某一项等价于该项系数为0”，需准确展开多项式并合并同类项，再通过解方程组求解参数，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【分析】
本题分为规律验证和规律运用两部分：验证环节需通过设数将两个数表示为和差形式，计算两数的和（定值）与乘积，分析乘积随参数的变化规律，从而证明“两数和一定时，差的绝对值越小，乘积越大”；运用环节需先根据绳子长度求出长方形长与宽的和（定值），再结合证明的规律，确定长和宽相等时面积最大，进而计算最大面积。
【解析】
(1) 设两个数分别为$a+b$和$a-b$（$a$为定值，$b≥0$），则两数之和为$(a+b)+(a-b)=2a$（定值）；两数之积为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。因为$a^2$是定值，当$b＞0$时，$b^2$随$b$减小而减小，故$a^2 - b^2$随$b$减小而增大；当$b=0$时，乘积最大（此时两数相等）。综上，两数和一定时，差的绝对值越小，乘积越大。
(2) 用20m长的绳子围长方形，周长为20m，故长+宽$=20÷2=10m$（定值）。根据上述规律，当长和宽的差的绝对值最小时，面积最大，即长=宽$=10÷2=5m$时，面积最大，最大面积为$5×5=25m^2$。
【答案】
(1) 证明见解析，结论：两数和一定时，差的绝对值越小，乘积越大；(2) 最大面积为$25m^2$
【知识点】
整式的乘法、平方差公式、长方形面积计算
【点评】
本题是规律探究型应用题，先通过计算发现规律，再用整式乘法严谨证明，最后将规律迁移到长方形面积问题中，考查学生的逻辑推理与知识应用能力，题型新颖，难度适中。
【难度系数】
0.6
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