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解：
$(x+3)(x^2-3x-5)$
$=x^3 -3x^2 -5x +3x^2 -9x -15$
$=x^3 -14x -15$
解：
$(36x^4y^3 -24x^3y^2 +3x^2y^2)÷(-6x^2y^2)$
$=36x^4y^3÷(-6x^2y^2) -24x^3y^2÷(-6x^2y^2) +3x^2y^2÷(-6x^2y^2)$
$=-6x^2y +4x -\frac{1}{2}$
解：
原式$=x^2 -x -2 +2x^2 -9x -5 -3x^2 +18x +3$
$=8x -4$
当$x=-\frac{1}{2}$时，
原式$=8×(-\frac{1}{2})-4=-4-4=-8$
解：
原不等式可化为$2x -x^2 +5x -x +5 > x -x^2 +3$
整理得$5x > -2$
解得$x>-\frac{2}{5}$
解：(1) 由题意得$(x+a)(x+6)=x^2+6x+ax+6a=x^2+(6+a)x+6a$
因为结果为$x^2+8x+12，$所以$6+a=8，$$6a=12，$解得$a=2$
(2) 当$a=2，$$b=-3$时，
$(x+a)(x+b)=(x+2)(x-3)=x^2 -3x +2x -6 =x^2 -x -6$
$x^3+1$
$m^3+8$
$8a^3+1$
解：(2) 规律：$(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3$
证明：
左边$=a· a^2 -a· ab +a· b^2 +b· a^2 -b· ab +b· b^2$
$=a^3 -a^2b +ab^2 +a^2b -ab^2 +b^3$
$=a^3 +b^3 =$右边
所以$(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3$成立。
(3) 已知$x+y=2，$$xy=-3，$$x^2+y^2=10，$
由上述公式得$x^3+y^3=(x+y)(x^2 -xy +y^2)$
代入数值：
$=2×[10 - (-3)]$
$=2×13=26$
【分析】本题为整式的乘除运算题，需依次运用幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、多项式除以单项式及合并同类项法则求解。解题时需注意运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有同类项的要合并，同时关注符号和指数的运算规则。
【解析】
(1) 先计算积的乘方：$(-2mn^2)^2 = (-2)^2 m^2 (n^2)^2 = 4m^2n^4$，再计算单项式乘单项式：$-3m^2n · 4m^2n^4 = (-3 × 4) m^{2+2} n^{1+4} = -12m^4n^5$；
(2) 先利用单项式乘多项式法则展开：
$-2a^2 · \frac{1}{2}ab = -a^3b$，$-2a^2 · b^2 = -2a^2b^2$，
$-5a · a^2b = -5a^3b$，$-5a · (-ab^2) = 5a^2b^2$，
再合并同类项：$(-a^3b -5a^3b) + (-2a^2b^2 +5a^2b^2) = -6a^3b + 3a^2b^2$；
(3) 利用多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项：
$x · x^2 = x^3$，$x · (-3x) = -3x^2$，$x · (-5) = -5x$，
$3 · x^2 = 3x^2$，$3 · (-3x) = -9x$，$3 · (-5) = -15$，
合并同类项：$x^3 + (-3x^2 +3x^2) + (-5x -9x) -15 = x^3 -14x -15$；
(4) 利用多项式除以单项式法则，将多项式的每一项分别除以单项式：
$36x^4y^3 ÷ (-6x^2y^2) = -6x^2y$，
$-24x^3y^2 ÷ (-6x^2y^2) = 4x$，
$3x^2y^2 ÷ (-6x^2y^2) = -\frac{1}{2}$，
相加得：$-6x^2y +4x - \frac{1}{2}$；
【答案】12.(1) $-12m^{4}n^{5}$；(2) $-6a^{3}b+3a^{2}b^{2}$；(3) $x^{3}-14x-15$；(4) $-6x^{2}y+4x-\dfrac{1}{2}$
【知识点】整式的乘除运算、幂的乘方与积的乘方、合并同类项
【点评】本题考查整式的基础运算，涵盖幂的运算、单项式与多项式的乘除、合并同类项等核心知识点，是初中代数的重点内容，需熟练掌握运算法则，注意符号和指数的运算细节，避免计算错误。
【难度系数】0.3
【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用多项式乘多项式法则展开原式中的各个乘积项，再通过合并同类项将式子化为最简形式，最后将给定的x值代入最简式计算结果。计算过程中需注意各项的符号，避免出错。
【解析】
先根据多项式乘多项式法则展开各项：
1. 展开$(x+1)(x-2)$：
$x· x + x·(-2) + 1· x + 1·(-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$；
2. 展开$(2x+1)(x-5)$：
$2x· x + 2x·(-5) + 1· x + 1·(-5) = 2x^2 - 10x + x - 5 = 2x^2 - 9x - 5$；
3. 展开$-3(x^2 -6x -1)$：
根据乘法分配律得：$-3x^2 + 18x + 3$；
再合并同类项化简原式：
原式$=(x^2 -x -2)+(2x^2 -9x -5)+(-3x^2 +18x +3)$
$=(x^2 +2x^2 -3x^2)+(-x -9x +18x)+(-2 -5 +3)$
$=8x -4$；
当$x=-\dfrac{1}{2}$时，代入最简式：
$8×(-\dfrac{1}{2}) -4 = -4 -4 = -8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题为整式化简求值的基础题型，主要考查多项式乘多项式法则与合并同类项的运算，解题关键是准确展开式子并正确合并同类项，需注意符号处理，适合初中学生巩固整式运算的基础知识。
【难度系数】
0.6
【分析】解本题的思路是：先利用多项式乘法法则展开不等式两边的式子，注意去括号时的符号变化；再通过移项、合并同类项将不等式化简为一元一次不等式；最后根据不等式的性质求解，得到不等式的解集。
【解析】解：原不等式左边展开：
$\begin{aligned}2x - (x - 5)(x + 1) &= 2x - (x^2 + x - 5x - 5) \\&= 2x - x^2 + 4x + 5 \\&= -x^2 + 6x + 5\end{aligned}$
原不等式右边展开：
$x(1 - x) + 3 = x - x^2 + 3$
将左右两边代入原不等式得：
$-x^2 + 6x + 5 ＞ -x^2 + x + 3$
两边同时加$x^2$消去二次项：
$6x + 5 ＞ x + 3$
移项合并同类项：
$5x ＞ -2$
系数化为1（不等号方向不变）：
$x ＞ -\frac{2}{5}$
【答案】$x ＞ -\dfrac{2}{5}$
【知识点】一元一次不等式的解法；多项式乘法
【点评】本题主要考查整式展开与一元一次不等式的求解，核心是正确处理去括号符号和合并同类项，将复杂不等式转化为一元一次不等式，难度适中，计算细心即可完成。
【难度系数】0.6
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用多项式乘多项式法则展开看错后的式子，通过对应项系数相等求出参数a；第(2)问代入已求的a和给定的b值，再次利用多项式乘多项式法则计算结果。
【解析】
(1) 先展开甲看错b后的式子：
$(x+a)(x+6)=x^2 +6x +ax +6a =x^2 +(6+a)x +6a$
已知该结果为$x^2 +8x +12$，根据多项式对应项系数相等，可得：
$6+a=8$，解得$a=2$；同时验证常数项：$6a=6×2=12$，符合条件，故a=2。
(2) 当$a=2$，$b=-3$时，代入原式计算：
$(x+a)(x+b)=(x+2)(x-3)=x^2 -3x +2x -6 =x^2 -x -6$
【答案】
(1) $a=2$；(2) $x^2 -x -6$
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值
【点评】
本题考查多项式乘多项式的基本运算，核心是利用对应项系数相等求解参数，再代入计算，属于基础题型，需熟练掌握多项式乘法法则。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题分为三小问，第(1)问通过多项式乘法法则直接计算，观察结果初步感知规律；第(2)问从第(1)问的运算结果中归纳出通用公式，再通过多项式乘法展开证明公式的正确性；第(3)问利用第(2)问得出的立方和公式，结合已知条件代入计算即可。
【解析】
(1) 根据多项式乘法法则展开计算：
$(x+1)(x^2 -x +1) = x· x^2 + x·(-x) + x·1 + 1· x^2 + 1·(-x) + 1·1 = x^3 -x^2 +x +x^2 -x +1 = x^3 +1$；
$(m+2)(m^2 -2m +4) = m· m^2 + m·(-2m) + m·4 + 2· m^2 + 2·(-2m) + 2·4 = m^3 -2m^2 +4m +2m^2 -4m +8 = m^3 +8$；
$(2a+1)(4a^2 -2a +1) = 2a·4a^2 + 2a·(-2a) + 2a·1 + 1·4a^2 +1·(-2a)+1·1 = 8a^3 -4a^2 +2a +4a^2 -2a +1 = 8a^3 +1$。
(2) 观察第(1)问的结果，归纳规律：两个数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和，用字母表示为：$\boldsymbol{(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3}$。
证明：左边展开得：
$(a+b)(a^2 -ab +b^2) = a^3 -a^2b +ab^2 +a^2b -ab^2 +b^3 = a^3 +b^3$，与右边相等，公式成立。
(3) 利用立方和公式$x^3 + y^3=(x+y)(x^2 -xy +y^2)$，代入已知条件：
已知$x+y=2$，$xy=-3$，$x^2 + y^2=10$，则：
$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 -xy + y^2) = 2×[10 - (-3)] = 2×13 = 26$。
【答案】
(1) $x^3 +1$；$m^3 +8$；$8a^3 +1$；
(2) $(a+b)(a^2 -ab +b^2)=a^3 +b^3$，证明如上；
(3) $26$
【知识点】
多项式乘法法则，立方和公式，代数式求值
【点评】
本题通过特殊多项式相乘的运算归纳出立方和公式，考查了多项式乘法的运算能力、归纳推理能力及公式的应用，是代数运算中重要的基础题型。
【难度系数】
0.5
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