第91页 - 通成学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

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 (1) 解：$\because (x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}，$

 $\therefore (x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 4 = 3^2 - 4 = 5$

 (2) 解：$\because (x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}，$

 $\therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = (x-\frac{1}{x})^2 + 2 = 5 + 2 =7，$

 又$\because (x^2+\frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}，$

 $\therefore x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2+\frac{1}{x^2})^2 -2 =7^2 -2 =47$

 解：(1) 原式$=-(3-1)×(3+1)×(3^2+1)×(3^4+1)×(3^8+1)×(3^{16}+1)×(3^{32}+1)-1$

 $=-(3^2-1)×(3^2+1)×(3^4+1)×(3^8+1)×(3^{16}+1)×(3^{32}+1)-1$

 $=-3^{64}$

 (2) 因为$3^1$个位是3，$3^2$个位是9，$3^3$个位是7，$3^4$个位是1，个位数字每4次循环一次，$64÷4=16，$所以$3^{64}$的个位数字是1，因此结果的个位数字是1。

 解：(1) 由$x^2+2y^2-2xy+4y+4=0，$得

 $(x^2-2xy+y^2)+(y^2+4y+4)=0，$

 即$(x-y)^2+(y+2)^2=0。$

 $\therefore x-y=0，$$y+2=0，$

 $\therefore x=y=-2，$

 $\therefore x^2+y^2=(-2)^2+(-2)^2=4+4=8。$

 (2) 由$a^2+b^2+45=12a+6b，$得

 $(a^2-12a+36)+(b^2-6b+9)=0，$

 即$(a-6)^2+(b-3)^2=0。$

 $\therefore a-6=0，$$b-3=0，$解得$a=6，$$b=3。$

 ① 若$c=6，$则$△ ABC$的周长为$6+6+3=15；$

 ② 若$c=3，$$\because 3+3=6，$不满足三角形三边关系，不能构成三角形，此种情况不存在。

 综上所述，$△ ABC$的周长是15。

【分析】
这道题可利用整体思想和平方差公式求解。首先观察等式左边的两个因式，符合平方差公式的结构特征，把(2a+2b)看作一个整体，应用平方差公式展开后简化计算，进而求出(a+b)²的值。
【解析】
解：将(2a+2b)看作一个整体，根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，对等式左边展开：
$(2a+2b+1)(2a+2b-1)=(2a+2b)^2 - 1^2$
已知该式等于63，因此：
$(2a+2b)^2 - 1 = 63$
移项得：$(2a+2b)^2 = 64$
因为$2a+2b=2(a+b)$，所以$(2(a+b))^2=4(a+b)^2$，代入上式：
$4(a+b)^2=64$
两边同时除以4，得：$(a+b)^2=16$
【答案】
16
【知识点】
平方差公式、整体思想、代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的应用，通过整体代换简化运算，避免了分别求解a、b的繁琐步骤，体现了代数运算中的整体思想，是初中整式乘法的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7

【分析】
这道题是利用完全平方公式的变形求代数式的值，已知$x+\dfrac{1}{x}=3$，无需直接求解$x$，而是通过完全平方公式的结构特征，将所求式子转化为与已知式子相关的形式，运用整体代入思想简化计算。第(1)问中，$(x-\dfrac{1}{x})^2$与$(x+\dfrac{1}{x})^2$仅中间项符号不同，两者相差4，可直接用已知值计算；第(2)问需先求出$x^2+\dfrac{1}{x^2}$，再对其平方后减2，即可得到$x^4+\dfrac{1}{x^4}$的值。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，可得：
$(x+\dfrac{1}{x})^2=x^2+2· x·\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}$，
$(x-\dfrac{1}{x})^2=x^2-2· x·\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=x^2-2+\dfrac{1}{x^2}$，
因此$(x-\dfrac{1}{x})^2=(x+\dfrac{1}{x})^2-4$，
将$x+\dfrac{1}{x}=3$代入得：$(x-\dfrac{1}{x})^2=3^2-4=9-4=5$。
(2) 由(1)知$(x-\dfrac{1}{x})^2=x^2-2+\dfrac{1}{x^2}=5$，故$x^2+\dfrac{1}{x^2}=5+2=7$，
再根据完全平方公式：$(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2=x^4+2· x^2·\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^4}=x^4+2+\dfrac{1}{x^4}$，
因此$x^4+\dfrac{1}{x^4}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2-2$，
将$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$代入得：$x^4+\dfrac{1}{x^4}=7^2-2=49-2=47$。
【答案】
(1) $5$；(2) $47$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是完全平方公式的典型变形应用，核心是利用公式的结构特征，通过整体代入避免求解复杂的$x$值，简化计算过程，属于代数运算的基础题型，能有效考查学生对公式的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题可通过构造平方差公式简化计算：观察原式中的-2，可将其变形为-(3-1)，使原式转化为多个平方差公式的乘积形式，逐步计算后处理剩余的-1即可得到结果；对于结果的个位数字，需先找出3的幂次的个位数字循环规律，再根据指数判断对应个位。
【解析】
(1) 先将原式中的-2变形为-(3-1)，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$逐步计算：
$\begin{aligned}原式&=-(3-1)×(3+1)×(3^2+1)×(3^4+1)×\dots×(3^{32}+1)-1\\&=-(3^2 -1)×(3^2 +1)×\dots×(3^{32}+1)-1\\&=-(3^4 -1)×\dots×(3^{32}+1)-1\\&\dots\\&=-(3^{64} -1)-1\\&=-3^{64} +1 -1\\&=-3^{64}\end{aligned}$
(2) 观察3的幂次的个位数字规律：$3^1=3$（个位3），$3^2=9$（个位9），$3^3=27$（个位7），$3^4=81$（个位1），$3^5=243$（个位3），可见个位数字以“3、9、7、1”为周期循环，周期为4。
因为$64÷4=16$，余数为0，所以$3^{64}$的个位数字与$3^4$的个位数字相同，为1，因此$-3^{64}$的个位数字为1。
【答案】
(1) $-3^{64}$；(2) 1
【知识点】
平方差公式，幂的运算，数字规律探究
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，通过构造公式简化复杂乘积运算，同时结合幂的个位数字的周期性规律解决个位问题，解题思路清晰，需熟练掌握平方差公式及数字循环规律的应用。
【难度系数】
0.5

【分析】本题通过配方将给定等式转化为完全平方和为0的形式，利用平方的非负性求出未知数的值；再根据问题要求，计算代数式的值或结合等腰三角形性质、三角形三边关系解决问题，关键是正确配方及验证三角形三边。
【解析】
(1) 对等式$x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 4 = 0$分组配方：
$\begin{aligned}x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 4&=0\\(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 + 4y + 4)&=0\\(x - y)^2 + (y + 2)^2&=0\end{aligned}$
因为平方数非负，即$(x - y)^2 ≥ 0$，$(y + 2)^2 ≥ 0$，要使和为0，则：
$x - y = 0$，$y + 2 = 0$，解得$y = -2$，$x = -2$。
因此$x^2 + y^2 = (-2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$。
(2) 对等式$a^2 + b^2 + 45 = 12a + 6b$移项配方：
$\begin{aligned}a^2 - 12a + b^2 - 6b + 45&=0\\(a^2 - 12a + 36) + (b^2 - 6b + 9)&=0\\(a - 6)^2 + (b - 3)^2&=0\end{aligned}$
同理，平方和为0，则$a - 6 = 0$，$b - 3 = 0$，解得$a = 6$，$b = 3$。
等腰三角形$ABC$的三边长为$a,b,c$，分情况讨论：
① 若$c = 6$，则三边长为6,3,6，满足三角形三边关系（3+6＞6），周长为$6 + 6 + 3 = 15$；
② 若$c = 3$，则三边长为6,3,3，因为$3 + 3 = 6$，不满足三角形三边关系，此种情况不存在。
综上，$△ ABC$的周长为15。
【答案】(1) 8；(2) 15
【知识点】完全平方公式、非负数的性质、三角形三边关系
【点评】本题考查配方思想的应用，利用平方的非负性求未知数，结合等腰三角形性质和三角形三边关系解题，需注意配方的分组技巧及三角形三边的验证，避免漏解或错解。
【难度系数】0.6