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C
A
B
A
$axy$
$x-y$(或$y-x$)
$4xy(x-3)$
$(y-1)(x-4)$
解：原式=$2ab^2(2ab-7c)$
解：原式= $4xy^2(xy+4xz-3z)$
解：原式= $-6x(x^2-3x+1)$
解：原式= $-2(a-b)(2a+b)$
A
C
$-4$
【分析】
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需遵循“系数取最大公约数、相同字母取各项共有的字母、相同字母的指数取最低次幂”的三步法：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，最后确定相同字母的最低次幂，三者相乘即为公因式，据此判断选项。
【解析】
对于多项式$4x^{2}y^{2}z -12xy^{2}z -6xyz^{2}$，按以下步骤确定公因式：
1. 系数部分：各项系数为4、-12、-6，它们的最大公约数是2；
2. 字母部分：各项都含有的字母是$x$、$y$、$z$；
3. 字母的指数部分：$x$的最低次幂为1，$y$的最低次幂为1，$z$的最低次幂为1；
将上述结果组合，得到公因式为$2 · x^1 · y^1 · z^1 = 2xyz$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定；提公因式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解中提公因式法的基础知识点，核心是掌握公因式的确定方法，属于基础题型，难度较低，学生只要牢记三步找公因式的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
【分析】要解决这个问题，需明确：提公因式分解因式时，另一个因式是原多项式的每一项除以公因式得到的结果。因此，只需将原多项式的每一项分别除以公因式$-7ab$，计算后组合即可得到答案。
【解析】解：提公因式分解因式时，另一个因式等于原多项式除以公因式的商。
原多项式为$-7ab -14abx +49aby$，公因式为$-7ab$，分别计算每一项除以公因式的结果：
1. 第一项：$(-7ab)÷(-7ab)=1$；
2. 第二项：$(-14abx)÷(-7ab)=2x$；
3. 第三项：$49aby÷(-7ab)= -7y$；
将结果组合，另一个因式为$1+2x-7y$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题考查提公因式分解因式的基础运算，核心是准确计算每一项除以公因式的结果，注意符号处理，属于因式分解的基础题型。
【难度系数】0.7
【分析】
要解决这道题，需掌握提公因式法分解因式的规则：先确定多项式各项的公因式（公因式是各项都含有的因式，系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂），再将公因式提出，剩余部分作为另一个因式，且分解要彻底（剩余因式不能再提公因式）。接下来逐个分析选项，判断公因式是否正确、分解是否彻底。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：多项式$12abc -9a^{2}b^{2}$，各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次幂为$ab$，公因式应为$3ab$，分解后应为$3ab(4c -3ab)$，选项误将公因式写为$3abc$，错误。
选项B：多项式$3a^{2}y -3ay +6y$，各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次幂为$y$，公因式是$3y$，提出后得$3y(a^{2}-a+2)$，剩余因式$a^{2}-a+2$无法再提公因式，分解正确。
选项C：多项式$3x^{2}y -3xy$，公因式应为$3xy$，分解后应为$3xy(x -1)$，选项中公因式找错，且剩余因式$x^{2}-1$还可继续分解，错误。
选项D：多项式$2x(a+b)-4(a+b)$，公因式应为$2(a+b)$，分解后应为$2(a+b)(x -2)$，选项中剩余因式$2x-4$还可提公因式2，分解不彻底，错误。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的基础应用，核心是准确确定公因式并保证分解彻底，需避免公因式找错、分解不彻底等常见错误，属于常规基础题。
【难度系数】
0.6
【分析】
这道题考查因式分解的提公因式法，解题思路是先处理式子中互为相反数项的符号，找到公因式后提取即可。首先观察原式的两项：2x(a-2)和-y(2-a)，注意到2-a与a-2互为相反数，可将-y(2-a)变形为+y(a-2)，使两项产生相同公因式(a-2)，提取公因式后得到结果，再对应选项选出正确答案。
【解析】
解：原式=2x(a-2) - y(2-a)
=2x(a-2) + y(a-2) （因为2-a=-(a-2)，所以 -y(2-a)= -y×[-(a-2)]=y(a-2)）
=(a-2)(2x + y) （提取公因式(a-2)）
因此正确结果为选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解、提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，关键在于正确处理互为相反数项的符号变形，避免符号错误，属于学生应掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8
【分析】找多项式的公因式，需先确定各项系数的最大公约数，再确定各项相同字母的最低次幂；若存在互为相反数的因式，可通过符号变形转化后再找相同因式。
【解析】
(1) 对于多项式$ax^{3}y+axy^{3}-4ax^{2}y^{2}$，各项系数的最大公约数为1，相同字母为$a、x、y$，其中$a$的最低次幂是1，$x$的最低次幂是1，$y$的最低次幂是1，因此公因式为$axy$；
(2) 先将$n(y-x)$变形为$-n(x-y)$，原式转化为$m(x-y)-n(x-y)$，相同因式为$x-y$；也可将原式变形为$-m(y-x)+n(y-x)$，此时公因式为$y-x$，因此公因式为$x-y$（或$y-x$）。
【答案】(1) $axy$；(2) $x-y$（或$y-x$）
【知识点】公因式的确定，提公因式法
【点评】本题考查多项式公因式的确定，核心是掌握找公因式的方法，注意互为相反数的因式可通过符号转化后分析，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【分析】
本题考查因式分解的提公因式法，解题思路是先确定多项式的公因式，再将公因式提取出来完成分解。第(1)题需先找出两项的公因式，第(2)题需先将互为相反数的项转化为相同形式，再提取公因式。
【解析】
(1) 对于$4x^{2}y - 12xy$，两项的公因式为$4xy$，提取公因式得：
$4x^{2}y - 12xy = 4xy · x - 4xy · 3 = 4xy(x - 3)$；
(2) 对于$x(y - 1) + 4(1 - y)$，先将$4(1 - y)$变形为$-4(y - 1)$，则原式变为：
$x(y - 1) - 4(y - 1) = (y - 1)(x - 4)$；
【答案】
(1) $4xy(x - 3)$；(2) $(y - 1)(x - 4)$
【知识点】
因式分解、提公因式法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查提公因式法的应用，第(2)题需注意符号的转换，整体难度较低，是学生需掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8
【分析】
因式分解的核心方法是提公因式法，解题思路为：先确定各项的公因式（公因式由系数的最大公约数、相同字母的最低次幂组成），再将公因式提取出来，注意处理符号问题（如互为相反数的因式转化），最终完成因式分解。
【解析】
(1) 对于$4a^{2}b^{3}-14ab^{2}c$：
公因式的系数是4和14的最大公约数2，相同字母a的最低次幂为1，b的最低次幂为2，故公因式为$2ab^{2}$，提取后得：
原式$=2ab^{2}(2ab -7c)$；
(2) 对于$4x^{2}y^{3}+16x^{2}y^{2}z-12xy^{2}z$：
公因式的系数是4、16、12的最大公约数4，相同字母x的最低次幂为1，y的最低次幂为2，故公因式为$4xy^{2}$，提取后得：
原式$=4xy^{2}(xy +4xz -3z)$；
(3) 对于$-6x^{3}+18x^{2}-6x$：
首项系数为负，先提取负号，公因式为$-6x$，提取后得：
原式$=-6x(x^{2}-3x+1)$；
(4) 对于$2(b-a)^{2}-6a(a-b)$：
先转化$(b-a)^{2}=(a-b)^{2}$，原式变为$2(a-b)^{2}-6a(a-b)$，公因式为$2(a-b)$，提取后化简括号内：
原式$=2(a-b)[(a-b)-3a]=2(a-b)(-2a -b)= -2(a-b)(2a +b)$；
【答案】
(1) $2ab^{2}(2ab-7c)$；(2) $4xy^{2}(xy+4xz-3z)$；(3) $-6x(x^{2}-3x+1)$；(4) $-2(a-b)(2a+b)$
【知识点】
因式分解-提公因式法，符号转化
【点评】
本题为因式分解的基础题型，核心考察提公因式法的应用，需准确确定公因式，注意互为相反数因式的符号转化，只要掌握提公因式的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.3
【分析】
要计算代数式$m^3n + mn^3$的值，首先对该式因式分解提取公因式$mn$，再利用完全平方公式将剩余部分变形为可代入已知条件的形式，最终计算结果。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$m^3n + mn^3 = mn(m^2 + n^2)$
根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可得$m^2 + n^2 = (m - n)^2 + 2mn$。
将$m - n = -2$，$mn = 1$代入变形后的式子：
原式$= mn[(m - n)^2 + 2mn] = 1×[(-2)^2 + 2×1] = 1×(4 + 2) = 6$。
【答案】
A
【知识点】
因式分解、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是通过因式分解和完全平方公式对式子合理变形，将未知转化为已知，属于基础运算题，掌握相关公式即可解答。
【难度系数】
0.7
【分析】
本题是整式化简求值题，需运用整体思想解题。首先对所求整式进行因式分解，将其转化为含有已知条件的形式，再代入已知值计算即可。具体步骤：先对整式提取公因式化简，再根据已知的$a-b$和$b-c$求出$a-c$，最后整体代入计算。
【解析】
解：先化简整式$a^2 - ac - b(a - c)$
$\begin{aligned}a^2 - ac - b(a - c)&=a(a - c) - b(a - c)\\&=(a - b)(a - c)\end{aligned}$
已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，则$a - c = (a - b) + (b - c) = 5 + (-6) = -1$。
将$a - b =5$，$a - c=-1$代入化简后的式子：
$(a - b)(a - c)=5×(-1)= -5$。
【答案】
C
【知识点】
整式的因式分解、整体思想求代数式的值
【点评】
本题考查整体思想在整式化简求值中的应用，关键是对所求代数式因式分解，转化为已知条件的形式，再整体代入计算，难度适中，注重对代数变形能力的考查。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题是代数式求值问题，解题思路是利用提公因式法对所求式子进行因式分解，将式子转化为与已知条件$a - b - c = 2$相关的形式，再代入已知值计算即可。
【解析】
解：对原式提取公因式$(a - b - c)$，可得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a - b - c)(-a + b + c)\\&=(a - b - c)×[-(a - b - c)]\\&= - (a - b - c)^2\end{aligned}$
将$a - b - c = 2$代入上式，得：
原式$= - 2^2 = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
提公因式法、代数式求值
【点评】
本题考查提公因式法的应用，属于基础题型，关键是准确提取公因式并处理符号，代入计算时注意平方的运算，难度较低，适合初中整式运算的基础练习。
【难度系数】
0.8
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