第103页 - 通成学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

 解：$(a+b)^2-14(a+b)+49 = (a+b)^2 - 2· (a+b)· 7 + 7^2 = (a+b-7)^2$

 解：$(a^2-4)^2+10(a^2-4)+25 = (a^2-4)^2 + 2· (a^2-4)· 5 + 5^2 = (a^2-4+5)^2 = (a^2+1)^2$

 解：$173^2+173×54+27^2 = 173^2 + 2×173×27 + 27^2 = (173+27)^2 = 200^2 = 40000$

 解：$40×3.5^2+80×3.5×1.5+40×1.5^2 = 40×(3.5^2 + 2×3.5×1.5 + 1.5^2) = 40×(3.5+1.5)^2 = 40×5^2 = 40×25 = 1000$

$(2x-y-1)^2$

 解：(2) 将$x^2+2x$看作整体，

 原式$=(x^2+2x)^2 + 2(x^2+2x) + 1^2 = (x^2+2x+1)^2 = (x+1)^4$

 (3) 令$x^2-2x=B，$则

 原式$=B(B-2)-3 = B^2-2B-3 = (B-3)(B+1)$

 将$B$还原，得

 原式$=(x^2-2x-3)(x^2-2x+1) = (x+1)(x-3)(x-1)^2$

 解：$△ ABC$为等边三角形，理由如下：

 $\because a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc=0$

 $\therefore a^2-2ab+b^2 + b^2-2bc+c^2=0$

 即$(a-b)^2 + (b-c)^2=0$

 由平方的非负性可得：$a-b=0$且$b-c=0，$即$a=b=c$

 $\therefore △ ABC$为等边三角形。

【分析】
这几道题是因式分解题，解题思路为：观察每个式子的结构特征，判断是否符合完全平方公式的形式；若式子有负号，先提取负号再变形；对于含有整体的式子，将整体看作一个“项”套用公式；最终分解需彻底，确保不能再继续分解。
【解析】
(1) 式子$16a^{2}+40ab+25b^{2}$中，$16a^2=(4a)^2$，$25b^2=(5b)^2$，中间项$40ab=2×4a×5b$，符合完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，因此分解为：
$16a^{2}+40ab+25b^{2}=(4a+5b)^2$；
(2) 式子$-4a^{2}+12ab-9b^{2}$，先提取负号得$-(4a^2-12ab+9b^2)$，其中$4a^2=(2a)^2$，$9b^2=(3b)^2$，中间项$12ab=2×2a×3b$，符合完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，因此分解为：
$-4a^{2}+12ab-9b^{2}=-(2a-3b)^2$；
(3) 式子$(a+b)^{2}-14(a+b)+49$，将$(a+b)$看作整体，$49=7^2$，中间项$-14(a+b)=-2×(a+b)×7$，符合完全平方差公式，因此分解为：
$(a+b)^{2}-14(a+b)+49=[(a+b)-7]^2=(a+b-7)^2$；
(4) 式子$(a^{2}-4)^{2}+10(a^{2}-4)+25$，将$(a^2-4)$看作整体，$25=5^2$，中间项$10(a^2-4)=2×(a^2-4)×5$，符合完全平方和公式，因此分解为：
$(a^{2}-4)^{2}+10(a^{2}-4)+25=[(a^2-4)+5]^2=(a^2+1)^2$；
【答案】
(1) $(4a+5b)^2$；(2) $-(2a-3b)^2$；(3) $(a+b-7)^2$；(4) $(a^2+1)^2$
【知识点】
因式分解（完全平方公式）、整体思想
【点评】
本题主要考查完全平方公式在因式分解中的应用，需学生熟练掌握公式结构，灵活运用整体思想处理复合项，注意符号的正确处理，分解结果需彻底，是初中因式分解的基础常考题型。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题利用因式分解中的完全平方公式简化计算，完全平方公式为$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$。解题时需观察式子结构，将原式转化为符合完全平方公式的形式，再代入公式计算即可。
【解析】
(1) 观察式子$173^2 + 173×54 + 27^2$，中间项$173×54 = 2×173×27$，因此原式可变形为：
$173^2 + 2×173×27 + 27^2 = (173 + 27)^2 = 200^2 = 40000$；
(2) 观察式子$40×3.5^2 + 80×3.5×1.5 + 40×1.5^2$，先提取公因式40，原式变形为：
$40×(3.5^2 + 2×3.5×1.5 + 1.5^2) = 40×(3.5 + 1.5)^2 = 40×5^2 = 40×25 = 1000$；
【答案】
(1) 40000；(2) 1000
【知识点】
因式分解-完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式在因式分解计算中的应用，核心是识别式子的完全平方结构，通过因式分解简化运算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题运用整体思想进行因式分解，核心是将式子中重复出现的多项式设为新的字母（换元），转化为熟悉的二次式，再用公式法或十字相乘法分解，最后还原并确保分解彻底。
【解析】
(1) 令 $2x - y = A$，则原式 $= A^2 - 2A + 1 = (A - 1)^2$，将 $A = 2x - y$ 还原，得原式 $=(2x - y - 1)^2$；
(2) 令 $x^2 + 2x = A$，则原式 $= A^2 + 2A + 1 = (A + 1)^2$，将 $A = x^2 + 2x$ 还原，得 $(x^2 + 2x + 1)^2$；再对 $x^2 + 2x + 1$ 分解得 $(x + 1)^2$，故原式 $=(x + 1)^4$；
(3) 令 $x^2 - 2x = B$，则原式 $= B(B - 2) - 3 = B^2 - 2B - 3$，用十字相乘法分解得 $(B - 3)(B + 1)$；将 $B = x^2 - 2x$ 还原，得 $(x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x + 1)$；再分别分解：$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$，$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$，故原式 $=(x + 1)(x - 3)(x - 1)^2$。
【答案】
(1) $(2x - y - 1)^2$；(2) $(x + 1)^4$；(3) $(x + 1)(x - 3)(x - 1)^2$
【知识点】
因式分解（整体思想）、完全平方公式、十字相乘法因式分解
【点评】
本题通过整体思想简化复杂因式分解问题，需掌握换元法的应用，且分解时要确保彻底，是常见的考向题型，能锻炼学生的转化思维。
【难度系数】
0.5

【分析】首先观察给定的等式，含有二次项与交叉项，考虑通过拆项分组，运用完全平方公式因式分解；再利用平方的非负性推导三边关系，进而判断三角形形状。
【解析】对等式变形：
∵ $a^2 + 2b^2 + c^2 - 2ab - 2bc = 0$，
将$2b^2$拆分为$b^2 + b^2$，分组得：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) = 0$，
根据完全平方公式化为：
$(a - b)^2 + (b - c)^2 = 0$，
∵ 平方数非负，即$(a - b)^2 ≥ 0$，$(b - c)^2 ≥ 0$，
两个非负数和为0，则每个非负数为0，因此：
$a - b = 0$且$b - c = 0$，即$a = b$，$b = c$，
故$a = b = c$，$△ABC$为等边三角形。
【答案】$△ABC$为等边三角形
【知识点】因式分解（完全平方公式）、非负数的性质、等边三角形判定
【点评】本题通过配方法将代数等式变形，结合非负数性质推导三边相等，是代数与几何结合的基础题，重点考查配方法应用和等边三角形判定。
【难度系数】0.6