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D
12
60
解：$(6xy+1)^2-81x^4y^4$
$=(6xy+1+9x^2y^2)(6xy+1-9x^2y^2)$
$=(9x^2y^2+6xy+1)(-9x^2y^2+6xy+1)$
$=(3xy+1)^2(-9x^2y^2+6xy+1)$
解：$(x+y)^2-10(x^2-y^2)+25(x-y)^2$
$=(x+y)^2-2·(x+y)·5(x-y)+[5(x-y)]^2$
$=[(x+y)-5(x-y)]^2$
$=(-4x+6y)^2$
$=4(-2x+3y)^2$
解：(1) 根据题意，得
$M=(3x^2-4x-20)-3x(x-3)$
$=3x^2-4x-20-3x^2+9x$
$=5x-20$
$P=3x^2-4x-20+(x+2)^2$
$=3x^2-4x-20+x^2+4x+4$
$=4x^2-16$
(2) 对P因式分解：
$P=4x^2-16$
$=4(x^2-4)$
$=4(x+2)(x-2)$
$x^2+5x$
完全平方
解：(2) 原式$=[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]+25$
$=(x^2+x-2)(x^2+x-12)+25$
$=(x^2+x)^2-14(x^2+x)+24+25$
$=(x^2+x)^2-14(x^2+x)+49$
$=(x^2+x-7)^2$
(3) 证明：$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$
$=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1$
$=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$
$=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1$
$=(n^2+3n+1)^2$
∵n是自然数，
∴$n(n+3)$一定是偶数，
∴$n^2+3n=n(n+3)$是偶数，
∴$n^2+3n+1$是奇数，
∴四个连续自然数$n,n+1,n+2,n+3$的积与1的和等于一个奇数的平方。
【分析】首先观察所求代数式，发现各项都含有公因式ab，先提取公因式，剩余部分符合完全平方公式的结构，可转化为(a+b)²，进而将代数式转化为含已知条件a+b和ab的形式，通过整体代入计算即可，无需单独求a、b的值，简化运算。
【解析】解：对所求代数式因式分解：
$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$
$= ab(a^2 + 2ab + b^2)$（提取公因式ab）
$= ab(a + b)^2$（利用完全平方公式：$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$）
已知$a+b=3$，$ab=1$，代入得：
原式$=1×3^2=1×9=9$
【答案】D
【知识点】因式分解的应用、代数式求值、完全平方公式
【点评】本题考查代数求值，核心是通过因式分解将所求式子转化为已知条件的形式，运用整体代入思想简化计算，解题关键是掌握提公因式法和完全平方公式，属于基础代数题型，难度适中。
【难度系数】0.7
【分析】本题是代数式求值问题，已知m+n的值，需将所求代数式变形为含有(m+n)的形式，通过因式分解结合整体代入法计算结果，核心是利用完全平方公式对代数式进行因式分解。
【解析】对所求代数式进行变形：
$\begin{aligned}2m^2 + 4mn + 2n^2 -6&=2(m^2 + 2mn + n^2) -6\\&=2(m+n)^2 -6\end{aligned}$
将m+n=3代入上式：
$2×3^2 -6=2×9 -6=18-6=12$
【答案】12
【知识点】因式分解（完全平方公式）、代数式求值（整体代入法）
【点评】本题考查因式分解的应用与代数式的整体代入求值，关键是通过提取公因式和完全平方公式将代数式转化为含已知条件的形式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【分析】
本题是代数式求值问题，观察所求式子的结构，可先通过提取公因式和平方差公式对式子因式分解，将其转化为可直接代入已知值计算的形式，避免单独求解a、b的值，简化运算过程。
【解析】
对所求式子进行因式分解：
$\begin{aligned}xya^2 - xyb^2&=xy(a^2 - b^2)\\&=xy(a + b)(a - b)\end{aligned}$
将已知条件$xy=5$、$a + b=4$、$a - b=3$代入上式：
$5×4×3=60$
【答案】
60
【知识点】
因式分解（提公因式法、平方差公式）、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解的基本方法（提公因式法、平方差公式）在代数式求值中的应用，通过因式分解简化运算，是代数运算中常用的技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
【分析】
分解因式需运用公式法（平方差公式、完全平方公式），先观察式子结构特征，判断适用的公式，逐步分解至不能再分解。对于(1)，式子为两平方项的差，符合平方差公式形式；对于(2)，式子可整理为完全平方公式的结构，需先处理中间项的因式，再套用公式。
【解析】
(1) 原式 = (6xy + 1)² - (9x²y²)²
根据平方差公式 $a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，其中 $a=6xy+1$，$b=9x^2y^2$，得：
$=[(6xy+1)-9x^2y^2][(6xy+1)+9x^2y^2]$
整理后，注意到 $9x^2y^2+6xy+1=(3xy+1)^2$，因此：
$=(3xy+1)^2(-9x^2y^2+6xy+1)$
(2) 原式 = (x+y)² -10(x+y)(x-y) + [5(x-y)]²
根据完全平方公式 $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中 $a=x+y$，$b=5(x-y)$，得：
$=[(x+y)-5(x-y)]^2$
计算括号内的项：
$=(x+y-5x+5y)^2=(-4x+6y)^2$
提取公因式2后化简：
$=[2(-2x+3y)]^2=4(-2x+3y)^2$
【答案】
(1) $(3xy+1)^2(-9x^2y^2+6xy+1)$；(2) $4(-2x+3y)^2$
【知识点】
因式分解-平方差公式，因式分解-完全平方公式
【点评】
本题为教材习题的变式题，核心考查平方差公式与完全平方公式的应用，需准确识别公式结构，分解后要确保彻底，是因式分解的基础典型题型。
【难度系数】
0.4
【分析】
本题规则为上方相邻两个整式的和等于下方箭头指向的整式。求整式M时，用下方整式减去已知的上方整式；求整式P时，将两个上方整式相加。之后对P因式分解，需先化简，再运用因式分解方法。
【解析】
(1) 根据题意，求整式M：
$M=(3x^2-4x-20)-3x(x-3)$
展开$3x(x-3)=3x^2-9x$，代入得：
$M=3x^2-4x-20-3x^2+9x$
合并同类项：
$M=5x-20$
求整式P：
$P=(3x^2-4x-20)+(x+2)^2$
展开$(x+2)^2=x^2+4x+4$，代入得：
$P=3x^2-4x-20+x^2+4x+4$
合并同类项：
$P=4x^2-16$
(2) 对整式P因式分解：
$P=4x^2-16=4(x^2-4)=4(x+2)(x-2)$
【答案】
(1) $M=5x-20$，$P=4x^2-16$；(2) $P=4(x+2)(x-2)$
【知识点】
整式的加减、因式分解、完全平方公式
【点评】
本题考查整式运算与因式分解，核心是理解整式和的关系，熟练掌握整式展开、合并同类项及因式分解的基本方法，属于基础题型，需注意运算准确性。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题核心考查整体思想在因式分解中的应用，解题思路为：对于多个一次式相乘的多项式，先将首尾配对分组，使每组乘积得到含相同二次项的多项式，再将该二次多项式当作整体，结合完全平方公式完成因式分解；第(3)问需在分解后结合自然数的奇偶性证明结果为奇数的平方。
【解析】
(1) 观察例题解答过程，将展开后相同的二次多项式$x^2+5x$当作整体，最后运用完全平方公式完成因式分解，故答案为$x^2+5x$，完全平方。
(2) 对多项式$(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+25$因式分解：
$\begin{aligned}原式&=[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]+25\\&=(x^2+x-2)(x^2+x-12)+25\\&=(x^2+x)^2 -14(x^2+x)+24 +25\\&=(x^2+x)^2 -14(x^2+x)+49\\&=(x^2+x-7)^2\end{aligned}$
(3) 证明：四个连续自然数$n,n+1,n+2,n+3$的积与1的和为：
$\begin{aligned}n(n+1)(n+2)(n+3)+1&=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1\\&=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1\\&=(n^2+3n)^2 +2(n^2+3n)+1\\&=(n^2+3n+1)^2\end{aligned}$
因为$n$是自然数，$n(n+3)$中，若$n$为偶数则乘积为偶数；若$n$为奇数则$n+3$为偶数，乘积也为偶数，故$n^2+3n=n(n+3)$是偶数，因此$n^2+3n+1$是奇数，即四个连续自然数的积与1的和等于一个奇数的平方。
【答案】
(1) $x^2+5x$；完全平方 (2) $(x^2+x-7)^2$ (3) 四个连续自然数$n,n+1,n+2,n+3$的积与1的和等于一个奇数的平方
【知识点】整体思想因式分解、完全平方公式、整式的乘法
【点评】
本题围绕整体思想在因式分解中的应用展开，通过分组配对简化复杂多项式的分解过程，同时结合数的奇偶性完成证明，既考查因式分解的核心方法，又渗透了整体思想，是一道综合性较强的中等难度题。
【难度系数】0.5
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