第107页

信息发布者：
$55^2=(5×6)×100+25$
$(10n+5)^2=100n(n+1)+25$
解：(3)验证猜想：
左边=$(10n+5)^2=100n^2+100n+25$
右边=$100n(n+1)+25=100n^2+100n+25$
左边=右边，猜想成立。
当$n=202$时，$2025^2=202×203×100+25=4100625。$
(4)①答案不唯一，如$62×68=4216，$积前面的数$42=6×(6+1)，$积后面的数$16=2×8，$满足条件。
②证明：设十位数字为$a，$其中一个数的个位数字为$b，$则另一个数的个位数字为$10-b，$两个两位数分别为$10a+b，$$10a+(10-b)。$
$ \begin{aligned}&(10a+b)·[10a+(10-b)]\\=&100a^2+100a-10ab+10ab+10b-b^2\\=&100a(a+1)+b(10-b) \end{aligned} $
即乘积的前半部分为$a(a+1)，$后半部分为$b(10-b)，$规律成立。
解：(1)对多项式因式分解：
$x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x-y)(x+y)$
当$x=9，$$y=3$时，$x-y=9-3=6，$$x+y=9+3=12$
将因式码从小到大排列，得到小明设置的密码是060912。
(2)由题意得等腰三角形周长满足$2x+y=12，$其中$x$、$y$为不同的正整数，且满足三角形三边关系$2x>y。$
枚举正整数解：
当$x=5$时，$y=2，$符合题意；
当$x=4$时，$y=4，$腰长和底边长相等，不符合题意；
当$x=3$时，$y=6，$不满足三边关系，舍去。
故$x=5，$$y=2。$
对多项式因式分解：
$x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x+2y)(x-2y)$
代入$x=5，$$y=2，$得$x+2y=5+2×2=9，$$x-2y=5-2×2=1$
将因式码从小到大排列，得到数学老师设置的密码是010509。
【分析】
本题是规律探索类题目，需先观察题目给出的具体等式，归纳出一般规律，再通过代数运算验证规律，最后应用规律解决问题。首先分析个位为5的自然数平方的等式，找到n与等式的对应关系，推导第5个和第n个等式；再利用完全平方公式验证猜想，代入计算2025²；拓展部分观察十位相同、个位和为10的两位数乘积的例子，归纳规律后用整式乘法证明。
【解析】
(1) 观察前4个等式，第k个等式对应k5的平方，形式为$(k×(k+1))×100+25$，故第5个等式为$55^2=(5×6)×100+25$；
(2) 由上述规律，第n个等式为$(10n+5)^2=100n(n+1)+25$；
(3) 验证：左边$(10n+5)^2=100n^2+100n+25=100n(n+1)+25$，与右边相等，猜想成立；计算$2025^2$时，令$10n+5=2025$，得$n=202$，代入得$202×203×100+25=4100625$；
(4) ① 举例：$62×68=4216$，积前部分$42=6×(6+1)$，积后部分$16=2×8$，符合规律；② 设十位数字为$a$，两个数的个位分别为$b$和$10-b$，则两数为$10a+b$和$10a+(10-b)$，乘积展开：$(10a+b)[10a+(10-b)]=100a^2+100a-10ab+10ab+10b-b^2=100a(a+1)+b(10-b)$，规律得证。
【答案】
(1) $55^2=(5×6)×100+25$；
(2) $(10n+5)^2=100n(n+1)+25$；
(3) $2025^2=4100625$；
(4) ① 答案不唯一，如$62×68=4216$；② 证明见解析。
【知识点】
找规律、完全平方公式、整式的乘法运算
【点评】
本题从具体等式归纳一般结论，再通过代数运算验证，最后拓展到两位数乘积规律，考察学生的观察、归纳与代数推导能力，分层次设计，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：（1）先对多项式$x^3-xy^2$因式分解，再代入$x=9$、$y=3$求出各因式的值（即因式码），将因式码从小到大排列，不足两位的前面补0，即可得到密码；（2）先根据等腰三角形周长及边长条件确定腰长$x$和底边长$y$的正整数取值，再对多项式$x^3-4xy^2$因式分解，代入$x$、$y$的值求出因式码，排序补0后得到密码。
【解析】
（1）对多项式因式分解：$x^3-xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$。当$x=9$，$y=3$时，各因式的值为：$x=9$，$x - y=9 - 3=6$，$x + y=9 + 3=12$。将因式码从小到大排列为6、9、12，不足两位的前面补0，得到密码060912。
（2）等腰三角形周长为12，腰长为$x$，底边长为$y$，故$2x + y=12$，且$x$、$y$为不同正整数，同时满足三角形三边关系：$2x ＞ y$（两边之和大于第三边）。由$2x + y=12$得$y=12 - 2x$，代入三边关系得$2x ＞ 12 - 2x$，解得$x ＞ 3$；又$y=12 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 6$。$x$为正整数，故$x=4$或5。当$x=4$时，$y=12 - 8=4$，腰长与底边长相同，不符合“不同的正整数”，舍去；当$x=5$时，$y=12 - 10=2$，符合条件。对多项式因式分解：$x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2)=x(x + 2y)(x - 2y)$。代入$x=5$，$y=2$，各因式的值为：$x=5$，$x + 2y=5 + 4=9$，$x - 2y=5 - 4=1$。将因式码从小到大排列为1、5、9，不足两位的前面补0，得到密码010509。
【答案】
（1）060912；（2）010509
【知识点】
因式分解（提公因式法、平方差公式），等腰三角形的性质
【点评】
本题结合新定义的密码生成规则，考查因式分解的应用与等腰三角形边长的取值判断，需要学生准确理解规则、熟练运用因式分解公式，同时注意三角形边长的限制条件，整体难度适中，侧重知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
上一页 下一页