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解：(1) 答案不唯一，如110，220
(2) 当$a-b+c$是11的倍数或$a-b+c=0$时，$\overline{abc}$能被11整除。
理由：$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+11b+a-b+c=11(9a+b)+(a-b+c)。$
$\because 11(9a+b)$是11的倍数，
$\therefore$ 当$a-b+c$是11的倍数或$a-b+c=0$时，$\overline{abc}$能被11整除。
B
A
$a-1$
解:$5a^3-45ab^2 = 5a(a+3b)(a-3b)$
解： $4x^2y-4xy^2-x^3 = -x(x-2y)^2$
是
解：① 明明的发现正确。
理由：$(2k)^2-(2k-2)^2=4k^2-4k^2+8k-4=8k-4=4(2k-1)。$
$\because k$是正整数，
$\therefore 2k-1$是正整数，
$\therefore 4(2k-1)$是4的倍数，
$\therefore$ 两个连续偶数$2k-2$和$2k$（其中$k$是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数。
② 心心的发现不正确。
理由：由(1)可知“连偶数”是4的倍数，那么当2032是“连偶数”时，一定存在一个正整数$k$满足$4(2k-1)=2032，$解得$k=254.5，$这与$k$是正整数矛盾，
$\therefore 2032$不是“连偶数”，
$\therefore$ 心心的发现不正确。
【分析】首先，对于问题（1），需找出能被11整除的三位数，可利用11的倍数特征，通过11与整数相乘得到符合要求的三位数；对于问题（2），需将三位数$\overline{abc}$转化为代数形式，通过整式变形拆出11的倍数，结合整除的性质，确定剩余部分需满足的条件，进而得到a、b、c的关系。
【解析】（1）能被11整除的三位数答案不唯一，例如：110（$11×10=110$）、220（$11×20=220$）；（2）当$a-b+c$是11的倍数或$a-b+c=0$时，$\overline{abc}$能被11整除。理由如下：$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+11b+a-b+c=11(9a+b)+(a-b+c)$，因为$11(9a+b)$是11的倍数，所以当$a-b+c$是11的倍数或$a-b+c=0$时，$\overline{abc}$能被11整除。
【答案】(1) 示例：110，220；(2) 当$a-b+c$是11的倍数或$a-b+c=0$时，$\overline{abc}$能被11整除，理由见解析。
【知识点】整式的加减、数的整除
【点评】本题类比两位数被11整除的规律探究三位数的整除条件，考查代数式变形与数的整除性质，属于规律探究类题目，需掌握数的代数表示方法，难度适中。
【难度系数】0.5
【分析】
对于二次三项式$a^2 +7a -18$，可采用十字相乘法分解因式。解题思路是：找到两个数，使它们的乘积等于常数项$-18$，且它们的和等于一次项系数$7$，找到这两个数后即可完成因式分解，再对应选项选出正确答案。
【解析】
对多项式$a^2 +7a -18$用十字相乘法分解：常数项$-18$可分解为$9 × (-2)$，且$9 + (-2)=7$，恰好等于一次项系数，因此分解结果为$(a+9)(a-2)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解-十字相乘法
【点评】
本题考查二次三项式的因式分解，核心是掌握十字相乘法的应用，属于基础题型，熟练掌握十字相乘规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
【分析】要解决这个问题，需利用平方差公式对$5^8 -1$进行因式分解，找到分解后在20到30之间的因数。核心思路是通过多次运用平方差公式，将高次幂的式子转化为低次幂的乘积，从而筛选出符合范围的整数。
【解析】对$5^8 -1$利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$逐步因式分解：
$\begin{aligned}5^8 -1&=(5^4)^2 -1^2\\&=(5^4 -1)(5^4 +1)\\&=(5^2)^2 -1^2 × (5^4 +1)\\&=(5^2 -1)(5^2 +1)(5^4 +1)\\&=24 × 26 × (5^4 +1)\end{aligned}$
由此可知，$5^8 -1$能被20到30之间的24和26整除，对应选项A。
【答案】A
【知识点】因式分解（平方差公式）
【点评】本题考查平方差公式的应用，解题关键是熟练运用平方差公式对高次幂式子进行多次分解，快速定位符合条件的整数，属于基础因式分解的典型应用。
【难度系数】0.5
【分析】要确定两个整式的公因式，需先对每个整式进行因式分解，再找出它们都含有的相同因式，即为公因式。先分别对两个整式分解，再对比公共部分即可得到结果。
【解析】先对两个整式分别因式分解：
1. 对$a^2 - a$，提取公因式$a$，得$a^2 - a = a(a - 1)$；
2. 对$(a - 1)^2$，本身是完全平方的因式分解形式，即$(a - 1)^2 = (a - 1)(a - 1)$；
对比两个因式分解后的结果，它们共有的因式是$a - 1$，因此公因式为$a - 1$。
【答案】$a - 1$
【知识点】公因式、因式分解
【点评】本题为基础题型，考查公因式的确定方法，核心是先对多项式因式分解，再提取公共因式，难度较低，用于巩固因式分解与公因式的基础知识点。
【难度系数】0.6
【分析】
因式分解遵循“一提二套三检查”的思路：先提取各项的公因式，再套用乘法公式（平方差、完全平方公式），最后确认分解彻底。第(1)题先找公因式，剩余部分符合平方差公式；第(2)题先提取带负号的公因式，剩余部分符合完全平方公式，需注意符号处理和公式的正确应用。
【解析】
(1) 步骤1：提取公因式$5a$，原式变为$5a(a^2 - 9b^2)$；
步骤2：利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a^2 -9b^2=a^2-(3b)^2$，分解得：
$5a(a+3b)(a-3b)$。
(2) 步骤1：提取公因式$-x$，原式变为$-x(x^2 -4xy +4y^2)$；
步骤2：利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$x^2-4xy+4y^2=x^2-2·x·2y+(2y)^2=(x-2y)^2$，分解得：
$-x(x-2y)^2$。
【答案】
(1) $5a(a+3b)(a-3b)$；(2) $-x(x-2y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，公式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，属于初中数学核心基础题型，需熟练掌握“先提公因式、再套公式”的分解逻辑，注意符号处理和分解彻底性，是巩固因式分解知识的典型题目。
【难度系数】
0.7
【分析】首先明确“连偶数”的定义：正整数能表示为两个连续偶数的平方差。解题思路：（1）判断52是否为“连偶数”，需验证是否存在两个连续偶数，其平方差等于52；（2）①验证两个连续偶数2k-2和2k构造的“连偶数”是否为4的倍数，需计算它们的平方差并化简，判断是否为4的倍数；②判断2032是否为“连偶数”，可利用①中得出的“连偶数是4的倍数”的结论，通过解方程看对应的k是否为正整数来验证。
【解析】
（1）设两个连续偶数为2n和2n-2（n为整数），根据“连偶数”定义计算平方差：
$(2n)^2 - (2n-2)^2 = 4n^2 - (4n^2 -8n +4) = 8n -4$
令$8n -4 =52$，解得$n=7$，此时两个连续偶数为14和12，$14^2 -12^2=196-144=52$，符合“连偶数”定义，故52是“连偶数”。
（2）① 验证明明的发现：
计算两个连续偶数2k-2和2k的平方差：
$(2k)^2 - (2k-2)^2 =4k^2 - (4k^2 -8k +4)=8k -4=4(2k-1)$
∵k是正整数，
∴$2k-1$是正整数，因此$4(2k-1)$是4的倍数，故两个连续偶数2k-2和2k构造的“连偶数”也是4的倍数，明明的发现正确。
② 验证心心的发现：
假设2032是“连偶数”，根据①的结论，“连偶数”可表示为$4(2k-1)$，则有：
$4(2k-1)=2032$
解得$2k-1=508$，即$k=254.5$，这与k是正整数矛盾，故2032不是“连偶数”，心心的发现不正确。
【答案】
(1) 是；
(2) ① 明明的发现正确，理由：$(2k)^2 - (2k-2)^2=4k^2 -4k^2 +8k -4=8k-4=4(2k-1)$，
∵k是正整数，
∴$2k-1$是正整数，
∴$4(2k-1)$是4的倍数，故两个连续偶数2k-2和2k构造的“连偶数”也是4的倍数；
② 心心的发现不正确，理由：由①可知“连偶数”是4的倍数，若2032是“连偶数”，则存在正整数k满足$4(2k-1)=2032$，解得$k=254.5$，与k是正整数矛盾，故2032不是“连偶数”，心心的发现不正确。
【知识点】新定义运算、平方差公式、代数式化简
【点评】本题为新定义题型，需准确理解“连偶数”的定义，通过代数运算推导验证结论，考查学生的阅读理解能力与代数运算能力，是基础知识点的灵活应用。
【难度系数】0.5
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