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$3^2-2=7$
解：(1) $\because\frac{x}{x^2-2x-3}=7，$$\therefore x≠0。$
$\therefore\frac{x^2-2x-3}{x}=x-2-\frac{3}{x}=\frac{1}{7}$
$\therefore x-\frac{3}{x}=\frac{1}{7}+2=\frac{15}{7}$
解：(2) 对$\frac{x^2}{x^4-5x^2+9}$取倒数，得$\frac{x^4-5x^2+9}{x^2}=x^2+\frac{9}{x^2}-5。$
由(1)知$x-\frac{3}{x}=\frac{15}{7}，$
$\because x^2+\frac{9}{x^2}=(x-\frac{3}{x})^2 + 2· x·\frac{3}{x}=(\frac{15}{7})^2 +6=\frac{519}{49}，$
$\therefore x^2+\frac{9}{x^2}-5=\frac{519}{49}-5=\frac{274}{49}，$
$\therefore\frac{x^2}{x^4-5x^2+9}=\frac{49}{274}$
真
解：(2) 原式$=\frac{x-2-1}{x-2}=1-\frac{1}{x-2}$
(3) $\frac{x^2-4x+6}{x-2}=\frac{x^2-4x+4+2}{x-2}=\frac{(x-2)^2+2}{x-2}=x-2+\frac{2}{x-2}$
$\because$分式$\frac{x^2-4x+6}{x-2}$的值为整数，x为整数，
$\therefore x-2=\pm1$或$\pm2。$
当$x-2=1$时，原式$=1+\frac{2}{1}=3；$
当$x-2=2$时，原式$=2+\frac{2}{2}=3；$
当$x-2=-1$时，原式$=-1+\frac{2}{-1}=-3；$
当$x-2=-2$时，原式$=-2+\frac{2}{-2}=-3。$
综上所述，分式的值是$\pm3。$
【分析】
本题运用“倒数法”求解分式的值，核心思路是对已知分式取倒数，将其转化为整式的和差形式，再结合完全平方公式变形计算。对于（1），先对已知等式取倒数，拆分后直接得到含$x-\frac{3}{x}$的式子，进而求出目标值；对于（2），先对所求分式取倒数，转化为含$x^2+\frac{9}{x^2}$的形式，再利用（1）的结果，通过完全平方公式变形计算，最后取倒数得到答案。
【解析】
（1）已知$\dfrac{x}{x^2 - 2x - 3}=7$，可知$x≠0$，对等式两边取倒数得：
$\dfrac{x^2 - 2x - 3}{x}=\dfrac{1}{7}$，
将左边拆分得：$x - 2 - \dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{7}$，
移项计算：$x - \dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{7} + 2=\dfrac{15}{7}$。
（2）求$\dfrac{x^2}{x^4 -5x^2 +9}$的值，对其取倒数得：
$\dfrac{x^4 -5x^2 +9}{x^2}=x^2 + \dfrac{9}{x^2} -5$，
由（1）知$x - \dfrac{3}{x}=\dfrac{15}{7}$，根据完全平方公式变形：
$x^2 + \dfrac{9}{x^2}=(x - \dfrac{3}{x})^2 + 2·x·\dfrac{3}{x}=(\dfrac{15}{7})^2 +6=\dfrac{519}{49}$，
代入得：$\dfrac{519}{49} -5=\dfrac{274}{49}$，
因此$\dfrac{x^2}{x^4 -5x^2 +9}=\dfrac{49}{274}$。
【答案】
(1) $\dfrac{15}{7}$；(2) $\dfrac{49}{274}$
【知识点】
分式的倒数法、完全平方公式的应用
【点评】
本题通过“倒数法”将复杂高次分式转化为易计算的整式形式，结合完全平方公式变形，体现了分式求值的转化思想，是分式运算的典型题型，需熟练掌握倒数法的使用技巧。
【难度系数】
0.5
【分析】
首先明确题目给出的真分式、假分式的定义：对于只含一个字母的分式，分子次数小于分母次数的是真分式，分子次数≥分母次数的是假分式；假分式可化为整式与真分式的和（带分式）。
第(1)题：通过比较分子和分母的次数判断分式类型；
第(2)题：将假分式的分子拆分为含分母的整式形式，再拆分得到带分式；
第(3)题：先对分子配方变形，分离出整式和真分式，再根据分式值为整数的条件，确定分母的约数，进而求出分式的值。
【解析】
(1) 分式$\frac{2025}{x+1}$中，分子是常数2025，次数为0；分母是$x+1$，次数为1。因为分子次数小于分母次数，所以该分式是真分式。
(2) 对假分式$\frac{x-3}{x-2}$变形：
$\frac{x-3}{x-2} = \frac{(x-2)-1}{x-2} = \frac{x-2}{x-2} - \frac{1}{x-2} = 1 - \frac{1}{x-2}$。
(3) 先对分式$\frac{x^2-4x+6}{x-2}$的分子配方：
$x^2-4x+6=(x^2-4x+4)+2=(x-2)^2+2$，
则$\frac{x^2-4x+6}{x-2}=\frac{(x-2)^2+2}{x-2}=x-2+\frac{2}{x-2}$。
因为分式的值为整数，且$x$为整数，所以$\frac{2}{x-2}$必须是整数，即$x-2$是2的整数约数，因此$x-2=±1$或$±2$。
分情况计算：
① 当$x-2=1$时，原式$=1+\frac{2}{1}=3$；
② 当$x-2=2$时，原式$=2+\frac{2}{2}=3$；
③ 当$x-2=-1$时，原式$=-1+\frac{2}{-1}=-3$；
④ 当$x-2=-2$时，原式$=-2+\frac{2}{-2}=-3$。
综上，分式的值为±3。
【答案】
(1) 真；(2) $1-\frac{1}{x-2}$；(3) ±3
【知识点】
分式的分类；假分式化为带分式；分式的值为整数的条件
【点评】
本题是新定义类题型，需准确理解真、假分式的定义，掌握假分式化为带分式的变形技巧，结合整数性质分析分式值为整数的条件，考查代数变形与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
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