第129页

信息发布者：
B
D
B
3
$m≥ -2$且$m≠ -1$
解：原分式方程整理，得$\frac{2}{x}+\frac{1}{x(x-2)}=\frac{5}{2x}。$
去分母，得$2× 2(x-2)+2=5(x-2)，$
解得$x=4。$
检验：当$x=4$时，$2x(x-2)≠0，$
∴$x=4$是原方程的解。
解：原分式方程整理，得$\frac{x+1}{(2x+1)(2x-1)}=\frac{3}{2x+1}-\frac{4}{2(2x-1)}。$
去分母，得$2(x+1)=3× 2(2x-1)-4(2x+1)，$
解得$x=6。$
检验：当$x=6$时，$2(2x+1)(2x-1)≠0，$
∴$x=6$是原方程的解。
解：化简原式，得$y=-\frac{1}{x+1}。$
由题意，得$-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{3}，$
解得$x=-4。$
经检验，$x=-4$是原分式方程的解。
∴当$x=-4$时，$y$的值为$\frac{1}{3}。$
解：原方程两边同乘$x-1，$整理得$(m-3)x=4。$
当整式方程无解时，$m-3=0，$则$m=3。$
当整式方程的解为分式方程的增根时，$x=1，$代入得$m-3=4，$解得$m=7。$
综上所述，实数$m$的值为3或7。
【分析】
本题考查分式方程增根的概念，需结合增根的定义逐一分析每个选项，明确“增根”是分式方程转化为整式方程后，使最简公分母为0的根，同时区分分母为0的值、整式方程的解与增根的关系，从而判断各选项的正误。
【解析】
根据分式方程增根的定义，逐一分析选项：
1. 选项A：分式方程不一定有增根，例如分式方程$\frac{1}{x}=1$，去分母得整式方程$1=x$，解得$x=1$，代入原方程分母不为0，无增根，故A错误；
2. 选项B：分式方程的增根是转化为整式方程后，使原分式方程最简公分母为0的根，因此增根代入最简公分母的值一定为0，故B正确；
3. 选项C：使分式方程分母为0的值，若不是转化后整式方程的解，则不是增根，例如分式方程$\frac{1}{x-1}=2$，分母为0的值是$x=1$，转化后的整式方程解为$x=3$，$x=1$不是整式方程的解，因此不是增根，故C错误；
4. 选项D：分式方程转化为整式方程后，整式方程的解可能使最简公分母为0（即增根），此时该解不是分式方程的解，例如分式方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x-1}$，转化后的整式方程解为$x=1$，代入最简公分母为0，是增根，不是原方程的解，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的核心概念，需准确把握增根的本质，避免混淆“分母为0的值”“整式方程的解”与“增根”的逻辑关系，是分式方程章节的基础易错点。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决该问题，需先明确分式方程增根的定义：增根是使分式方程分母为0的根，且是去分母后整式方程的根。解题步骤为：1. 确定该分式方程的增根；2. 去分母将分式方程转化为整式方程；3. 将增根代入整式方程，求解参数m的值。
【解析】
1. 确定增根：分式方程的分母为$x-3$，令$x-3=0$，得增根$x=3$。
2. 去分母：方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，得整式方程：$m + 4 = 3x + 2(x - 3)$。
3. 代入增根求m：把$x=3$代入整式方程，左边为$m + 4$，右边为$3×3 + 2×(3 - 3)=9$，因此$m + 4=9$，解得$m=5$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质，解题步骤固定，属于分式方程的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】首先明确题目定义的新运算规则：对于$a \bigotimes b$，其值为$2a$加上$b$的倒数。解题时，先将方程中的两个新运算项按规则转化为常规数学表达式，得到关于$x$的分式方程，再求解并检验解的合理性（分母不能为0）。
【解析】根据新运算规则$a \bigotimes b = 2a + \dfrac{1}{b}$，分别计算方程两边：
左边：$3 \bigotimes x = 2×3 + \dfrac{1}{x} = 6 + \dfrac{1}{x}$；
右边：$4 \bigotimes 2 = 2×4 + \dfrac{1}{2} = 8 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{2}$；
原方程转化为：$6 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{17}{2}$；
移项得：$\dfrac{1}{x} = \dfrac{17}{2} - 6 = \dfrac{5}{2}$；
两边取倒数得：$x = \dfrac{2}{5}$；
检验：当$x = \dfrac{2}{5}$时，分母$x ≠ 0$，是原方程的解。
【答案】B
【知识点】新定义运算、分式方程的解法
【点评】本题结合新定义考查分式方程求解，关键是准确理解新运算规则，转化为常规方程后按步骤求解，需注意分式方程解的检验。
【难度系数】0.6
【分析】首先根据题目描述列出分式方程，观察两个分式的分母，将$\dfrac{x}{2-x}$变形为$-\dfrac{x}{x-2}$，把异分母分式转化为同分母分式，再通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验解是否使原分式方程的分母不为0，确保解有效。
【解析】根据题意，列出方程：
$\dfrac{7}{x-2} + \dfrac{x}{2-x} = 4$
将第二个分式的分母变形，$\dfrac{x}{2-x} = -\dfrac{x}{x-2}$，代入方程得：
$\dfrac{7}{x-2} - \dfrac{x}{x-2} = 4$
同分母分式相加减，分子相加减，分母不变，化简得：
$\dfrac{7 - x}{x - 2} = 4$
两边同时乘以$(x - 2)$（$x≠2$，否则分母为0），去分母得：
$7 - x = 4(x - 2)$
展开右边：
$7 - x = 4x - 8$
移项合并同类项：
$5x = 15$
解得：
$x = 3$
检验：当$x=3$时，$x - 2 = 1 ≠ 0$，所以$x=3$是原方程的解。
【答案】3
【知识点】分式方程的解法
【点评】本题是分式方程的基础应用题，重点考查分式方程的转化与求解，需注意分母的符号变形及解的检验，避免增根，属于初中数学的常规题型。
【难度系数】0.7
【分析】
本题是关于分式方程解的取值范围问题，解题思路如下：首先将分式方程右边的分母统一为$x-1$，把分式方程转化为整式方程；接着求解整式方程，得到$x$关于$m$的表达式；然后考虑分式方程的增根条件（分母不能为0），得到$m$的一个限制；再根据题目中“解为非负数”的要求，得到另一个关于$m$的不等式；最后综合两个限制条件，确定$m$的取值范围，注意需同时满足所有条件。
【解析】
原方程$\dfrac{m}{x-1}=2+\dfrac{x}{1-x}$，变形右边的分式：$\dfrac{x}{1-x}=-\dfrac{x}{x-1}$，因此方程化为$\dfrac{m}{x-1}=2-\dfrac{x}{x-1}$；
两边同乘最简公分母$x-1$（需满足$x≠1$），去分母得：$m=2(x-1)-x$；
展开并整理右边：$m=2x-2-x=x-2$，解得$x=m+2$；
因为分式方程分母不能为0，所以$x-1≠0$，即$m+2 -1≠0$，得$m≠-1$；
又因为方程的解为非负数，所以$x=m+2≥0$，解得$m≥-2$；
综合以上两个条件，$m$的取值范围是$m≥-2$且$m≠-1$。
【答案】
$m≥-2$且$m≠-1$
【知识点】
分式方程的解法、分式方程的增根、一元一次不等式
【点评】
本题为易错题，学生易忽略分式方程增根的限制，仅根据解为非负数求出$m≥-2$，而遗漏$m≠-1$的条件，解题时需牢记分式方程必须保证分母不为0，求解后要验证增根情况。
【难度系数】
0.6
【分析】
解分式方程的核心思路是将其转化为整式方程求解，具体步骤为：①先对各分母因式分解，确定最简公分母；②方程两边同乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程；④将整式方程的解代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，则是原分式方程的解，若为0则是增根，需舍去。
【解析】
(1) 原方程整理，得$\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x(x-2)}=\dfrac{5}{2x}$。
确定最简公分母为$2x(x-2)$，方程两边同乘$2x(x-2)$，得：
$2×2(x-2)+2=5(x-2)$
展开计算：$4(x-2)+2=5x-10$ → $4x-8+2=5x-10$ → $4x-6=5x-10$ → 移项得$-x=-4$，解得$x=4$。
检验：当$x=4$时，$2x(x-2)=2×4×2=16≠0$，故$x=4$是原方程的解。
(2) 原方程整理，得$\dfrac{x+1}{(2x+1)(2x-1)}=\dfrac{3}{2x+1}-\dfrac{4}{2(2x-1)}$。
确定最简公分母为$2(2x+1)(2x-1)$，方程两边同乘$2(2x+1)(2x-1)$，得：
$2(x+1)=3×2(2x-1)-4(2x+1)$
展开计算：$2x+2=6(2x-1)-8x-4$ → $2x+2=12x-6-8x-4$ → $2x+2=4x-10$ → 移项得$-2x=-12$，解得$x=6$。
检验：当$x=6$时，$2(2x+1)(2x-1)=2×13×11=286≠0$，故$x=6$是原方程的解。
【答案】
12. (1) $x=4$；(2) $x=6$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的检验
【点评】
本题为分式方程的基础求解题，重点考查分式方程转化为整式方程的方法及增根的检验，解题时需注意去分母时不要漏乘常数项，且必须验证解的有效性，属于常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决该问题，需先对给定的分式表达式化简：先将分式除法转化为乘法，通过因式分解约分，再计算分式减法得到最简形式；随后令化简后的$y=\frac{1}{3}$，解分式方程，最后检验解是否使原分式有意义，排除增根。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}y&=\frac{x}{x^2 - x} ÷ \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} - \frac{2}{x + 1}\\&=\frac{x}{x(x-1)} × \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} - \frac{2}{x+1} \quad \mathrm{（因式分解，除法转乘法）}\\&=\frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+1} \quad \mathrm{（约分后计算）}\\&=-\frac{1}{x+1}\end{aligned}$
根据题意令$y=\frac{1}{3}$，得：
$-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{3}$
解此方程：交叉相乘得$-3=x+1$，解得$x=-4$。
检验：当$x=-4$时，原分式各分母均不为0，故$x=-4$是原方程的解。
【答案】
当$x=-4$时，$y$的值为$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式的化简、解分式方程
【点评】
本题综合考查分式化简与分式方程求解，关键是正确因式分解、约分，化简后解方程，需牢记分式方程必须验根，确保解的有效性。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决分式方程无解求$m$的值，需明确分式方程无解的两种核心情况：一是去分母后转化的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原方程分母为0的$x$值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分上述两种情况讨论即可求出$m$。
【解析】
原分式方程中，分母为$x-1$，故$x≠1$。
给方程两边同乘最简公分母$x-1$去分母，得：
$7 + 3(x-1) = mx$
整理得整式方程：$(m-3)x = 4$
分式方程无解分两种情况：
1. 整式方程本身无解：
当整式方程$(m-3)x = 4$无解时，需满足系数为0且常数项不为0，即$m-3=0$，此时$0·x=4$，等式不成立，方程无解，解得$m=3$。
2. 整式方程的解为原分式方程的增根：
原分式方程的增根为使分母为0的$x=1$，将$x=1$代入整式方程$(m-3)x=4$，得：
$(m-3)×1 = 4$，解得$m=7$，此时原方程分母为0，是增根，故原分式方程无解。
综上，实数$m$的值为3或7。
【答案】
3或7
【知识点】
分式方程无解、增根、一元一次方程的解
【点评】
本题考查分式方程无解的条件，需注意分式方程无解包含“整式方程无解”和“整式方程的解为增根”两种情况，易遗漏其中一种情况，是分式方程相关的易错题，需学生全面分析。
【难度系数】
0.5
上一页 下一页