第144页

信息发布者：
证明：(1) $\because DE$是线段$AC$的垂直平分线，$\therefore EA=EC，$即$△ EAC$是等腰三角形。
$\therefore ∠ EAC=∠ C。$
$\therefore ∠ AEB=∠ EAC+∠ C=2∠ C。$
$\because ∠ B=2∠ C，$$\therefore ∠ AEB=∠ B，$即$△ EAB$是等腰三角形。
$\therefore AE$是$△ ABC$的一条等腰分割线。
(2) 解：$\because AD$为$△ ABC$的等腰分割线，$\therefore △ ABD$和$△ ACD$都是等腰三角形。
$\because AD=BD，$$\therefore ∠ B=∠ BAD。$
① 当$AD=CD$时，可得$∠ C=∠ CAD=30°。$
$\therefore ∠ ADB=∠ C+∠ CAD=30°+30°=60°。$
$\therefore ∠ B=∠ BAD=60°。$
② 当$AD=AC$时，可得$∠ ADC=∠ C=30°。$
$\because ∠ B=∠ BAD，$$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=30°，$$\therefore ∠ B=15°。$
③ 当$AC=CD$时，可得$∠ CAD=∠ ADC=\frac{180°-30°}{2}=75°。$
$\because ∠ B=∠ BAD，$$∠ ADC=∠ B+∠ BAD，$$\therefore ∠ B=37.5°。$
综上所述，$∠ B$的度数为$60°$或$15°$或$37.5°。$
证明：(1) $\because BD⊥$直线$m，$$CE⊥$直线$m，$$\therefore ∠ BDA=∠ AEC=90°。$
$\because ∠ BAC=90°，$$\therefore ∠ BAD+∠ CAE=90°。$
$\because ∠ BAD+∠ ABD=90°，$$\therefore ∠ CAE=∠ ABD。$
又$\because AB=CA，$$\therefore △ ADB≌△ CEA。$
$\therefore BD=AE，$$AD=CE。$
$\therefore DE=AE+AD=BD+CE。$
(2) 解：成立，理由如下：
$\because ∠ BDA=∠ BAC=α，$
$\therefore ∠ DBA+∠ BAD=∠ BAD+∠ EAC=180°-α。$
$\therefore ∠ DBA=∠ EAC。$
又$\because ∠ BDA=∠ AEC=α，$$AB=CA，$
$\therefore △ ADB≌△ CEA。$
$\therefore BD=AE，$$AD=CE。$
$\therefore DE=AE+AD=BD+CE。$
(3) 解：$△ DEF$为等边三角形，理由如下：
由(2)知$∠ DBA=∠ EAC，$$△ ADB≌△ CEA，$$\therefore BD=AE。$
$\because △ ABF$和$△ ACF$均为等边三角形，
$\therefore BF=AF，$$∠ BFA=∠ ABF=∠ CAF=60°。$
$\therefore ∠ DBA+∠ ABF=∠ EAC+∠ CAF，$即$∠ DBF=∠ EAF。$
又$\because BF=AF，$$BD=AE，$$\therefore △ DBF≌△ EAF。$
$\therefore DF=EF，$$∠ BFD=∠ AFE。$
$\therefore ∠ DFE=∠ DFA+∠ AFE=∠ DFA+∠ BFD=∠ BFA=60°。$
$\therefore △ DEF$为等边三角形。
【分析】
本题是新定义题型，核心是理解“等腰分割线”的定义（将三角形分成两个等腰三角形的线段），结合等腰三角形性质、垂直平分线性质、三角形内角/外角性质解题：
(1) 要证AE是等腰分割线，需证△ABE和△ACE均为等腰三角形：利用垂直平分线性质得EA=EC，推出△EAC等腰，再结合外角性质和已知∠B=2∠C，推导∠AEB=∠B，得△ABE等腰，满足定义；
(2) AD是等腰分割线，故△ABD、△ACD均为等腰，由AD=BD得∠B=∠BAD，需对△ACD的腰的情况分类讨论（AD=CD、AD=AC、AC=CD），结合三角形内角和、外角性质分别计算∠B，避免漏解。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE是线段AC的垂直平分线，
∴ EA = EC（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），
∴ △EAC是等腰三角形，
∴ ∠EAC = ∠C。
∵ ∠AEB是△EAC的外角，
∴ ∠AEB = ∠EAC + ∠C = 2∠C。
又
∵ ∠B = 2∠C，
∴ ∠AEB = ∠B，
∴ △EAB是等腰三角形。
因此AE是△ABC的一条等腰分割线。
(2) 解：
∵ AD为△ABC的等腰分割线，
∴ △ABD和△ACD都是等腰三角形，且AD=BD，
∴ ∠B = ∠BAD。
分三种情况讨论：
① 当AD=CD时，△ACD为等腰三角形，∠C=∠CAD=30°，
∴ ∠ADB = ∠C + ∠CAD = 30°+30°=60°，
在△ABD中，∠B = ∠BAD = (180° - ∠ADB)/2 = (180°-60°)/2=60°；
② 当AD=AC时，△ACD为等腰三角形，∠ADC=∠C=30°，
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC=∠B + ∠BAD=2∠B，
∴ 2∠B=30°，得∠B=15°；
③ 当AC=CD时，△ACD为等腰三角形，∠CAD=∠ADC，
∴ ∠ADC=(180°-∠C)/2=(180°-30°)/2=75°，
又
∵ ∠ADC=∠B + ∠BAD=2∠B，
∴ 2∠B=75°，得∠B=37.5°。
综上，∠B的度数为60°或15°或37.5°。
【答案】15. (1) 证明见解析；(2) ∠B的度数为60°或15°或37.5°
【知识点】等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角与外角性质
【点评】本题为新定义题型，需准确理解“等腰分割线”的定义，第(1)问侧重垂直平分线与等腰性质的应用，第(2)问需分类讨论△ACD的等腰情况，考查逻辑推理与分类思想，解题时需注意不重不漏。
【难度系数】0.4
【分析】
本题是递进式几何证明题，需逐步分析：
(1) 要证DE=BD+CE，观察DE由AD、AE组成，需将BD、CE转化为AD、AE，通过证明△ADB和△CEA全等，利用直角与角的和差关系找相等角，结合AB=AC完成全等证明，进而转化线段。
(2) 对一般角度α的情况，利用∠BDA=∠BAC=α，通过角的和差推导∠DBA=∠EAC，结合AB=AC、∠BDA=∠AEC，仍用AAS证△ADB≌△CEA，得到对应边相等，结论成立。
(3) 判断△DEF形状，先由(2)得△ADB≌△CEA，得BD=AE；再结合等边△ABF、△ACF的性质，推导角相等，证△DBF≌△EAF，得DF=EF且∠DFE=60°，从而判定为等边三角形。
【解析】
(1)
∵ BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴ ∠BDA=∠AEC=90°。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAD+∠CAE=90°。
又
∵ ∠BAD+∠ABD=90°，
∴ ∠CAE=∠ABD。
在△ADB和△CEA中，$\{\begin{array}{l}∠BDA=∠AEC\\∠ABD=∠CAE\\AB=CA\end{array} $，
∴ △ADB≌△CEA(AAS)。
∴ BD=AE，AD=CE，
∴ DE=AE+AD=BD+CE。
(2) 结论DE=BD+CE成立，理由：
∵ ∠BDA=∠BAC=α，
∴ ∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°-α，
∴ ∠DBA=∠EAC。
在△ADB和△CEA中，$\{\begin{array}{l}∠BDA=∠AEC\\∠DBA=∠EAC\\AB=CA\end{array} $，
∴ △ADB≌△CEA(AAS)。
∴ BD=AE，AD=CE，
∴ DE=AE+AD=BD+CE。
(3) △DEF为等边三角形，理由：
由(2)知△ADB≌△CEA，
∴ BD=AE，∠DBA=∠EAC。
∵ △ABF和△ACF均为等边三角形，
∴ BF=AF，∠ABF=∠CAF=60°，
∴ ∠DBA+∠ABF=∠EAC+∠CAF，即∠DBF=∠EAF。
在△DBF和△EAF中，$\{\begin{array}{l}BD=AE\\∠DBF=∠EAF\\BF=AF\end{array} $，
∴ △DBF≌△EAF(SAS)。
∴ DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴ ∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=∠BFA=60°，
∴ △DEF为等边三角形。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 成立，理由见解析；(3) △DEF为等边三角形，理由见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，角的和差。
【点评】
本题是递进式几何综合题，从特殊直角情况到一般角度情况，再到等边三角形判定，逐步考查全等三角形的应用，需掌握角的转化、全等判定定理，对逻辑推理能力要求较高，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.5
上一页 下一页