解:$(1)$在$1$,$-2$,$3$,$-4$,$-5$中任取两个数相乘,可能的积有:
$1×(-2)=-2$,$1×3=3$,$1×(-4)=-4$,$1×(-5)=-5$,
$(-2)×3=-6$,$(-2)×(-4)=8$,$(-2)×(-5)=10$,
$3×(-4)=-12$,$3×(-5)=-15$,$(-4)×(-5)=20$。
比较这些积可得最大的积$a=20$。
这组数中最大数是$3$,最小数是$-5$,所以$b=3+(-5)=-2$。
$(2)$因为$|x+a|+|y+b|=0$,且$|x+a| \geq 0$,$|y+b| \geq 0$,
所以$x+a=0$,$y+b=0$。
由$a=20$,$b=-2$,得$x=-20$,$y=2$。
则$abxy=20×(-2)×(-20)×2=1600$。