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 解：在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：

 $AC^2 = 1^2 + 2^2 = 5，$即第一个直角三角形的斜边长为$\sqrt{5}；$

 在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：

 $AD^2 = AC^2 + 1^2 = 5 + 1 = 6，$即第二个直角三角形的斜边长为$\sqrt{6}；$

 在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：

 $AE^2 = AD^2 + 1^2 = 6 + 1 = 7，$即第三个直角三角形的斜边长为$\sqrt{7}；$

 以此类推，第$n$个直角三角形的斜边的平方为$n+4，$

 因此第$n$个直角三角形的斜边长为$\sqrt{n+4}。$

解：​$(1)$​如图所示
​$(2)$​设​$OC = x n mile$​
因海监船与渔船速度相同，故​$BC = AC$​
​$OA = 90 n mile，$​则​$AC = 90 - x$​
在​$Rt\triangle OBC$​中，​$OB = 30 n mile$​
由勾股定理得​$30^2 + x^2 = (90 - x)^2，$​解得​$x = 40$​
则​$BC = 90 - 40 = 50 n mile$​
答：海监船的航程​$BC$​的长为​$50 n mile。$​