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解：设通话​$x$​分钟，甲收费业务的价格为​$y_{甲}$​元，乙收费业务的价格为​$y_{乙}$​元
∵甲种业务规定月租费​$10$​元，每通话​$1 \mathrm {\mathrm {min}}$​收费​$0.3$​元，∴​$y_{甲}=10+0.3x$​
∵乙种业务不收月租费，但每通话​$1 \mathrm {\mathrm {min}}$​收费​$0.4$​元，∴​$y_{乙}=0.4x$​
当​$y_{甲}＞y_{乙}$​时，​$10+0.3x＞0.4x，$​解得​$x＜100$​
当​$y_{甲}=y_{乙}$​时，​$10+0.3x=0.4x，$​解得​$x=100$​
当​$y_{甲}＜y_{乙}$​时，​$10+0.3x＜0.4x，$​解得​$x＞100$​
​$(1)$​当通话时间大于​$100$​分钟时，选择甲种业务对顾客更合算
​$(2)$​当通话时间小于​$100$​分钟时，选择乙种业务对顾客更合算.
解：
(1) 设AB所在直线对应的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
由图象可知，OA段过点$(1,2)$与原点，可得OA段函数为$y=2x，$当$x=2$时，$y=4，$即点A坐标为$(2,4)。$
将$(2,4)$和$(3.5,2)$代入$y=kx+b，$得：
$\begin{cases}2k + b = 4 \\3.5k + b = 2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{4}{3}\\b=\dfrac{20}{3}\end{cases}$
所以AB所在直线对应的函数表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}。$
(2) 小球到达斜面底端时对应时间为$x=2\ \mathrm{s}，$小球停止滚动时速度$y=0，$令$y=0，$代入$y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}，$得：
$-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{20}{3}=0$
解得$x=5。$
因此小球从斜面底端至停止滚动所用的时长为$5-2=3\ \mathrm{s}。$
解：​$(1)$​设甲商品每件进价为​$ x $​元，乙商品每件进价为​$ y $​元
根据题意列方程组​$\begin {cases} 2x+3y=270\\3x+2y=230 \end {cases}，$​解得​$\begin {cases} x=30\\y=70 \end {cases}$​
∴甲商品进价​$30$​元，乙商品进价​$70$​元
​$(2)$​设购进甲商品​$ a $​件，乙商品​$ b $​件，​$ a+b=100 $​且​$ a\geq 4b $​
利润​$ W=(40-30)a+(90-70)b=10a+20b=2000-10a $​
由​$ a\geq 4(100-a) $​得​$ a\geq 80 ，$​​$ a $​最小为​$80$​时，​$W $​最大
此时​$ b=20 ，$​最大利润​$ W=2000-10×80=1200 $​元
∴进货方案为购进甲​$80$​件、乙​$20$​件，最大利润​$1200$​元
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