10.「2024 四川巴中南江月考,」下列方程中,适合用因式分解法的是(
A.$x^{2}-4\sqrt {2}x+1= 0$
B.$2x^{2}= x-3$
C.$(x-2)^{2}= 3x-6$
D.$x^{2}-10x-9= 0$
C
)A.$x^{2}-4\sqrt {2}x+1= 0$
B.$2x^{2}= x-3$
C.$(x-2)^{2}= 3x-6$
D.$x^{2}-10x-9= 0$
答案：C A. 等号左边不能分解因式，故不适合用因式分解法解此方程；B. 方程整理得$2x^{2}-x + 3 = 0$，等号左边不能分解因式，故不适合用因式分解法解此方程；C. 方程整理得$(x - 2)^{2}-3(x - 2)=0$，因式分解得$(x - 5)(x - 2)=0$，适合用因式分解法解此方程；D. 等号左边不能分解因式，故不适合用因式分解法解此方程。故选 C。
11. 新定义题「2023 辽宁沈阳新民期中,」若$a,b$是两个实数,定义一种运算“$\triangle $”：$a\triangle b= a(a+b)$,则方程$x\triangle (x-1)= 2x-1$的实数根是(
A.$x_{1}= \frac {1}{2},x_{2}= 1$
B.$x_{1}= 2,x_{2}= 1$
C.$x_{1}= -2,x_{2}= 1$
D.$x_{1}= -\frac {1}{2},x_{2}= 1$
A
)A.$x_{1}= \frac {1}{2},x_{2}= 1$
B.$x_{1}= 2,x_{2}= 1$
C.$x_{1}= -2,x_{2}= 1$
D.$x_{1}= -\frac {1}{2},x_{2}= 1$
答案：A ∵$x\triangle(x - 1)=2x - 1$，∴$x(x + x - 1)=2x - 1$，方程整理得$(2x - 1)(x - 1)=0$，于是有$2x - 1 = 0$或$x - 1 = 0$，∴$x_{1}=\frac{1}{2}$，$x_{2}=1$。故选 A。
12.「2024 内蒙古赤峰中考,」等腰三角形的两边长分别是方程$x^{2}-10x+21= 0$的两个根,则这个三角形的周长为(
A.17 或 13
B.13 或 21
C.17
D.13
C
)A.17 或 13
B.13 或 21
C.17
D.13
答案：C $x^{2}-10x + 21 = 0$，因式分解，得$(x - 3)(x - 7)=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=7$。∵$3 + 3 = 6＜7$，∴不符合三角形的三边关系，应舍去；∵$3 + 7 = 10＞7$，∴满足三角形的三边关系，此时三角形的周长是$7 + 7 + 3 = 17$。故选 C。
13. 易错题「2025 山东青岛市南期中,」若实数$x满足(x^{2}+x)(x^{2}+x-2)-15= 0$,则$x^{2}+x$的值为(
A.-3
B.5
C.-3 或 5
D.3 或-5
5
)A.-3
B.5
C.-3 或 5
D.3 或-5
答案：B 设$y = x^{2}+x$，则原方程变形为$y(y - 2)-15 = 0$，整理得$y^{2}-2y - 15 = 0$，解得$y_{1}=5$，$y_{2}=-3$。
【方法一】用配方法求范围检验：$y = x^{2}+x=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}$，∴$x^{2}+x = 5$。
【方法二】用根的判别式检验：当$y = 5$时，$x^{2}+x = 5$，即$x^{2}+x - 5 = 0$，此时$\Delta = 1^{2}-4×1×(-5)=21＞0$，满足条件；当$y = -3$时，$x^{2}+x = -3$，即$x^{2}+x + 3 = 0$，此时$\Delta = 1^{2}-4×1×3=-11＜0$，方程无解，舍去。∴$x^{2}+x = 5$。故选 B。
易错点 易忽视换元法所设“新元”有“新范围”从而忽略检验。
【方法一】用配方法求范围检验：$y = x^{2}+x=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}$，∴$x^{2}+x = 5$。
【方法二】用根的判别式检验：当$y = 5$时，$x^{2}+x = 5$，即$x^{2}+x - 5 = 0$，此时$\Delta = 1^{2}-4×1×(-5)=21＞0$，满足条件；当$y = -3$时，$x^{2}+x = -3$，即$x^{2}+x + 3 = 0$，此时$\Delta = 1^{2}-4×1×3=-11＜0$，方程无解，舍去。∴$x^{2}+x = 5$。故选 B。
易错点 易忽视换元法所设“新元”有“新范围”从而忽略检验。
14. 多解法「2025 重庆万州月考,」用因式分解法解方程$x^{2}+px-6= 0$,若将左边分解后有一个因式是$x-6$,则$p$的值是______
-5
.答案：答案 -5
解析 【解法一】设另一个因式为$x + a$，则$(x + a)(x - 6)=x^{2}+(a - 6)x - 6a = x^{2}+px - 6$，∴$-6a = -6$，∴$a = 1$，∴$p = a - 6 = -5$。
【解法二】∵$x - 6$是该方程左边分解后的一个因式，∴原方程可转化的两个方程之一为$x - 6 = 0$，∴$x = 6$是原方程的一个根，把$x = 6$代入原方程，得$6^{2}+6p - 6 = 0$，∴$p = -5$。
解析 【解法一】设另一个因式为$x + a$，则$(x + a)(x - 6)=x^{2}+(a - 6)x - 6a = x^{2}+px - 6$，∴$-6a = -6$，∴$a = 1$，∴$p = a - 6 = -5$。
【解法二】∵$x - 6$是该方程左边分解后的一个因式，∴原方程可转化的两个方程之一为$x - 6 = 0$，∴$x = 6$是原方程的一个根，把$x = 6$代入原方程，得$6^{2}+6p - 6 = 0$，∴$p = -5$。
15.「」已知关于$x$的一元二次方程$2x^{2}-(k+2)x+k= 0$.
(1)求证：无论$k$为何值,方程总有实数根.
证明：∵$b^{2}-4ac = [-(k + 2)]^{2}-4×2×k = k^{2}+4k + 4 - 8k = k^{2}-4k + 4=(k - 2)^{2}≥0$，∴无论$k$为何值，方程总有实数根。
(2) 多解法 若方程的两根分别为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}= 2x_{2}$,求$k$的值.
【解法一】因式分解法：
将方程因式分解可得$(2x - k)(x - 1)=0$，解得$x = 1$或$x=\frac{k}{2}$。
当$x_{1}=\frac{k}{2}$，$x_{2}=1$时，$\frac{k}{2}=2$，解得$k = 4$；当$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{k}{2}$时，$1 = 2×\frac{k}{2}$，解得$k = 1$。综上所述，$k =$
【解法二】公式法：
∵$b^{2}-4ac=(k - 2)^{2}$，∴$x=\frac{(k + 2)±(k - 2)}{2×2}$，∴$x=\frac{k + 2 + k - 2}{2×2}=\frac{k}{2}$或$x=\frac{k + 2 - k + 2}{2×2}=1$。
当$x_{1}=\frac{k}{2}$，$x_{2}=1$时，$\frac{k}{2}=2$，解得$k = 4$；当$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{k}{2}$时，$1 = 2×\frac{k}{2}$，解得$k = 1$。综上所述，$k =$
(1)求证：无论$k$为何值,方程总有实数根.
证明：∵$b^{2}-4ac = [-(k + 2)]^{2}-4×2×k = k^{2}+4k + 4 - 8k = k^{2}-4k + 4=(k - 2)^{2}≥0$，∴无论$k$为何值，方程总有实数根。
(2) 多解法 若方程的两根分别为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}= 2x_{2}$,求$k$的值.
【解法一】因式分解法：
将方程因式分解可得$(2x - k)(x - 1)=0$，解得$x = 1$或$x=\frac{k}{2}$。
当$x_{1}=\frac{k}{2}$，$x_{2}=1$时，$\frac{k}{2}=2$，解得$k = 4$；当$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{k}{2}$时，$1 = 2×\frac{k}{2}$，解得$k = 1$。综上所述，$k =$
1或4
。【解法二】公式法：
∵$b^{2}-4ac=(k - 2)^{2}$，∴$x=\frac{(k + 2)±(k - 2)}{2×2}$，∴$x=\frac{k + 2 + k - 2}{2×2}=\frac{k}{2}$或$x=\frac{k + 2 - k + 2}{2×2}=1$。
当$x_{1}=\frac{k}{2}$，$x_{2}=1$时，$\frac{k}{2}=2$，解得$k = 4$；当$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{k}{2}$时，$1 = 2×\frac{k}{2}$，解得$k = 1$。综上所述，$k =$
1或4
。答案：解析 (1) 证明：∵$b^{2}-4ac = [-(k + 2)]^{2}-4×2×k = k^{2}+4k + 4 - 8k = k^{2}-4k + 4=(k - 2)^{2}≥0$，∴无论$k$为何值，方程总有实数根。
(2) 【解法一】因式分解法：
将方程因式分解可得$(2x - k)(x - 1)=0$，解得$x = 1$或$x=\frac{k}{2}$。
当$x_{1}=\frac{k}{2}$，$x_{2}=1$时，$\frac{k}{2}=2$，解得$k = 4$；当$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{k}{2}$时，$1 = 2×\frac{k}{2}$，解得$k = 1$。综上所述，$k = 1$或$k = 4$。
【解法二】公式法：
∵$b^{2}-4ac=(k - 2)^{2}$，∴$x=\frac{(k + 2)±(k - 2)}{2×2}$，∴$x=\frac{k + 2 + k - 2}{2×2}=\frac{k}{2}$或$x=\frac{k + 2 - k + 2}{2×2}=1$。
当$x_{1}=\frac{k}{2}$，$x_{2}=1$时，$\frac{k}{2}=2$，解得$k = 4$；当$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{k}{2}$时，$1 = 2×\frac{k}{2}$，解得$k = 1$。综上所述，$k = 1$或$k = 4$。
(2) 【解法一】因式分解法：
将方程因式分解可得$(2x - k)(x - 1)=0$，解得$x = 1$或$x=\frac{k}{2}$。
当$x_{1}=\frac{k}{2}$，$x_{2}=1$时，$\frac{k}{2}=2$，解得$k = 4$；当$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{k}{2}$时，$1 = 2×\frac{k}{2}$，解得$k = 1$。综上所述，$k = 1$或$k = 4$。
【解法二】公式法：
∵$b^{2}-4ac=(k - 2)^{2}$，∴$x=\frac{(k + 2)±(k - 2)}{2×2}$，∴$x=\frac{k + 2 + k - 2}{2×2}=\frac{k}{2}$或$x=\frac{k + 2 - k + 2}{2×2}=1$。
当$x_{1}=\frac{k}{2}$，$x_{2}=1$时，$\frac{k}{2}=2$，解得$k = 4$；当$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{k}{2}$时，$1 = 2×\frac{k}{2}$，解得$k = 1$。综上所述，$k = 1$或$k = 4$。
16. 创新意识 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如$x^{2}= 4和(x-2)(x+3)= 0有且只有一个相同的实数根x= 2$,所以这两个方程为“同伴方程”.若关于$x的方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的参数同时满足a+b+c= 0和a-b+c= 0$,且该方程与$(x+2)(x-n)= 0$为“同伴方程”,则$n= $
1 或 -1
.答案：答案 1 或 -1
解析 ∵$a + b + c = 0$，$a - b + c = 0$，∴关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个实数根为$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$。∵$(x + 2)(x - n)=0$，∴$x + 2 = 0$或$x - n = 0$，∴$(x + 2)(x - n)=0$的根为$x_{1}=-2$，$x_{2}=n$，∵$ax^{2}+bx + c = 0$与$(x + 2)(x - n)=0$为“同伴方程”，∴$n = 1$或$n = -1$。
解析 ∵$a + b + c = 0$，$a - b + c = 0$，∴关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个实数根为$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$。∵$(x + 2)(x - n)=0$，∴$x + 2 = 0$或$x - n = 0$，∴$(x + 2)(x - n)=0$的根为$x_{1}=-2$，$x_{2}=n$，∵$ax^{2}+bx + c = 0$与$(x + 2)(x - n)=0$为“同伴方程”，∴$n = 1$或$n = -1$。
17. 运算能力 阅读理解题「2024 云南昆明五华月考」解方程$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4= 0$时,我们可以将$x^{2}-1$视为一个整体,设$x^{2}-1= y$,则$y^{2}= (x^{2}-1)^{2}$,故原方程可化为$y^{2}-5y+4= 0$,解此方程,得$y_{1}= 1,y_{2}= 4$.当$y= 1$时,$x^{2}-1= 1$,故$x^{2}= 2$,解得$x= \pm \sqrt {2}$；当$y= 4$时,$x^{2}-1= 4$,故$x^{2}= 5$,解得$x= \pm \sqrt {5}$.
∴原方程的解为$x_{1}= -\sqrt {2},x_{2}= \sqrt {2},x_{3}= -\sqrt {5},x_{4}= \sqrt {5}$.
以上方法就叫换元法,达到了降次的目的,体现了转化的思想.
运用上述方法解下列方程：
(1)$x^{4}-3x^{2}-4= 0$.
解：设$x^{2}=$
(2)$(x^{2}+2x)^{2}-(x^{2}+2x)-6= 0$.
解：设$x^{2}+2x=$
∴原方程的解为$x_{1}= -\sqrt {2},x_{2}= \sqrt {2},x_{3}= -\sqrt {5},x_{4}= \sqrt {5}$.
以上方法就叫换元法,达到了降次的目的,体现了转化的思想.
运用上述方法解下列方程：
(1)$x^{4}-3x^{2}-4= 0$.
解：设$x^{2}=$
$a$
，则原方程可化为$a^{2}-3a - 4 = 0$
，因式分解得$(a - 4)(a + 1)=0$
，∴$a - 4 = 0$
或$a + 1 = 0$
，解得$a_{1}=$$4$
，$a_{2}=$$-1$
（不合题意，舍去），∴$x^{2}=$$4$
，∴$x_{1}=$$2$
，$x_{2}=$$-2$
。(2)$(x^{2}+2x)^{2}-(x^{2}+2x)-6= 0$.
解：设$x^{2}+2x=$
$y$
，则原方程可化为$y^{2}-y - 6 = 0$
，因式分解得$(y - 3)(y + 2)=0$
，∴$y_{1}=$$3$
，$y_{2}=$$-2$
。当$y =$$3$
时，$x^{2}+2x - 3 = 0$
，解得$x_{1}=$$-3$
，$x_{2}=$$1$
；当$y =$$-2$
时，$x^{2}+2x + 2 = 0$
，无解。故方程的解为$x_{1}=$$-3$
，$x_{2}=$$1$
。答案：解析 (1) 设$x^{2}=a$，则原方程可化为$a^{2}-3a - 4 = 0$，因式分解得$(a - 4)(a + 1)=0$，∴$a - 4 = 0$或$a + 1 = 0$，解得$a_{1}=4$，$a_{2}=-1$（不合题意，舍去），∴$x^{2}=4$，∴$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$。
(2) 设$x^{2}+2x = y$，则原方程可化为$y^{2}-y - 6 = 0$，因式分解得$(y - 3)(y + 2)=0$，∴$y_{1}=3$，$y_{2}=-2$。当$y = 3$时，$x^{2}+2x - 3 = 0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$；当$y = -2$时，$x^{2}+2x + 2 = 0$，无解。故方程的解为$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$。
(2) 设$x^{2}+2x = y$，则原方程可化为$y^{2}-y - 6 = 0$，因式分解得$(y - 3)(y + 2)=0$，∴$y_{1}=3$，$y_{2}=-2$。当$y = 3$时，$x^{2}+2x - 3 = 0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$；当$y = -2$时，$x^{2}+2x + 2 = 0$，无解。故方程的解为$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$。