12. [2022黑龙江大庆中考]已知函数$y= mx^{2}+3mx+m-1$的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实数m的值为
1或 - $\frac{4}{5}$
.答案：答案1或 - $\frac{4}{5}$
解析 当m = 0时，y = - 1，图象与坐标轴只有一个公共点，不符合题意。当m ≠ 0时，∵函数y = mx² + 3mx + m - 1的图象与坐标轴恰有两个公共点，∴①过坐标原点，m - 1 = 0，∴m = 1（经检验满足题意），②与x轴、y轴各有一个公共点，Δ = 0，即(3m)² - 4m(m - 1) = 0，解得m = 0（舍去）或m = - $\frac{4}{5}$（经检验满足题意）。综上所述，m的值为1或 - $\frac{4}{5}$。
解析 当m = 0时，y = - 1，图象与坐标轴只有一个公共点，不符合题意。当m ≠ 0时，∵函数y = mx² + 3mx + m - 1的图象与坐标轴恰有两个公共点，∴①过坐标原点，m - 1 = 0，∴m = 1（经检验满足题意），②与x轴、y轴各有一个公共点，Δ = 0，即(3m)² - 4m(m - 1) = 0，解得m = 0（舍去）或m = - $\frac{4}{5}$（经检验满足题意）。综上所述，m的值为1或 - $\frac{4}{5}$。
13. [2025北京海淀期中]如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线$y= 3x^{2}+bx+c$与x轴交于A,B两点,且$AB= 4$.若将此抛物线先向左平移2个单位,再向下平移m个单位,所得新抛物线与x轴的两个交点间的距离为8,则m的值为(
A. 6
B. 2
C. 24
D. 36
D
)A. 6
B. 2
C. 24
D. 36
答案：D 当y = 0时，设3x² + bx + c = 0的两根为x₁、x₂，则x₁ + x₂ = - $\frac{b}{3}$，x₁·x₂ = $\frac{c}{3}$，∵AB = 4，∴|x₁ - x₂| = 4，∴(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 16，∴b² - 12c = 144，∵抛物线平移后所得新抛物线与x轴的两个交点间的距离为8，即当y = m时，抛物线上两点之间的距离为8。设3x² + bx + c = m的两根为x₃、x₄，则x₃ + x₄ = - $\frac{b}{3}$，x₃·x₄ = $\frac{c - m}{3}$，|x₃ - x₄| = 8，∴(x₃ - x₄)² = (x₃ + x₄)² - 4x₃x₄ = 64，∴b² - 12(c - m) = b² - 12c + 12m = 576，∵b² - 12c = 144，∴144 + 12m = 576，解得m = 36。故选D。
14. 如图,已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a,b,c$为常数,$a≠0)$交x轴于$A(1,0)$、$B(3,0)$两点,交y轴于$C(0,3)$,将该抛物线位于直线$y= m$(m为常数,$m≥0$)下方的部分沿直线$y= m$翻折,其余部分不变,得到的新图象记为“图象W”.
(1)求翻折前抛物线的表达式.
(2)若$m= 0$,直线$y= x+n$与图象W有三个交点,求n的值.
(1)翻折前抛物线的表达式为$y=$
(2)n的值是
(1)求翻折前抛物线的表达式.
(2)若$m= 0$,直线$y= x+n$与图象W有三个交点,求n的值.
(1)翻折前抛物线的表达式为$y=$
$x² - 4x + 3$
。(2)n的值是
$-1$
或$-\frac{3}{4}$
。答案：解析 （1）由题意得$\begin{cases}a + b + c = 0 \\9a + 3b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\b = - 4 \\c = 3\end{cases}$
∴翻折前抛物线的表达式为y = x² - 4x + 3。
（2）当m = 0，且直线y = x + n与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y = x + n过点A时，与图象W有三个交点，此时n = - 1；
②当直线y = x + n与图象W位于线段AB正上方的部分仅有一个交点时，x + n = - x² + 4x - 3，即x² - 3x + n + 3 = 0，则Δ = ( - 3)² - 4×1×(n + 3) = 0，∴n = - $\frac{3}{4}$。
综上，n的值是 - 1或 - $\frac{3}{4}$。
∴翻折前抛物线的表达式为y = x² - 4x + 3。
（2）当m = 0，且直线y = x + n与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y = x + n过点A时，与图象W有三个交点，此时n = - 1；
②当直线y = x + n与图象W位于线段AB正上方的部分仅有一个交点时，x + n = - x² + 4x - 3，即x² - 3x + n + 3 = 0，则Δ = ( - 3)² - 4×1×(n + 3) = 0，∴n = - $\frac{3}{4}$。
综上，n的值是 - 1或 - $\frac{3}{4}$。
1. [2025江苏盐城期中]已知点$(-2,5),(4,5)$是抛物线上的两点,则此抛物线的对称轴为____
直线x = 1
.答案：答案直线x = 1
解析 ∵点( - 2,5)，(4,5)的纵坐标相同，∴两点关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x = $\frac{- 2 + 4}{2}$ = 1。
解析 ∵点( - 2,5)，(4,5)的纵坐标相同，∴两点关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x = $\frac{- 2 + 4}{2}$ = 1。
2. [2025山东滨州滨城期中]已知二次函数$y= 2025x^{2}+k的图象上有两个不同点M(t_{1},4),N(t_{2},4)$,则$2025t_{1}+2025t_{2}= $
0
.答案：答案0
解析 ∵y = 2025x² + k，∴抛物线的对称轴为y轴，∵M(t₁,4)，N(t₂,4)的纵坐标相等，∴点M、N关于y轴对称，∴t₁ + t₂ = 0，∴2025t₁ + 2025t₂ = 2025(t₁ + t₂) = 0。
解析 ∵y = 2025x² + k，∴抛物线的对称轴为y轴，∵M(t₁,4)，N(t₂,4)的纵坐标相等，∴点M、N关于y轴对称，∴t₁ + t₂ = 0，∴2025t₁ + 2025t₂ = 2025(t₁ + t₂) = 0。
3. [2025浙江金华义乌月考改编]已知二次函数$y= x^{2}+bx+c$中,函数y与自变量x的部分对应值如表：
若$A(m,y_{1}),B(m+2,y_{2})$两点都在该函数的图象上,则当$m= $
若$A(m,y_{1}),B(m+2,y_{2})$两点都在该函数的图象上,则当$m= $
1
时,$y_{1}= y_{2}$.答案：答案1
解析 ∵x = 0时，y = 5；x = 4时，y = 5，∴该抛物线的对称轴为直线x = 2，∵A(m,y₁)，B(m + 2,y₂)两点都在该函数的图象上，且y₁ = y₂，∴$\frac{m + m + 2}{2}$ = 2，解得m = 1。
解析 ∵x = 0时，y = 5；x = 4时，y = 5，∴该抛物线的对称轴为直线x = 2，∵A(m,y₁)，B(m + 2,y₂)两点都在该函数的图象上，且y₁ = y₂，∴$\frac{m + m + 2}{2}$ = 2，解得m = 1。
4. [2023山东青岛十三中一模]已知二次函数$y= a(x-2)^{2}-3$的部分图象如图所示,若$y≤0$,则x的取值范围为
-1 ≤ x ≤ 5
.答案：答案 - 1 ≤ x ≤ 5
解析 ∵y = a(x - 2)² - 3，∴抛物线的对称轴为直线x = 2，∵抛物线与x轴的一个交点为( - 1,0)，( - 1,0)关于直线x = 2对称的点为(5,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点为(5,0)，∴y ≤ 0时，x的取值范围是 - 1 ≤ x ≤ 5。故答案为 - 1 ≤ x ≤ 5。
解析 ∵y = a(x - 2)² - 3，∴抛物线的对称轴为直线x = 2，∵抛物线与x轴的一个交点为( - 1,0)，( - 1,0)关于直线x = 2对称的点为(5,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点为(5,0)，∴y ≤ 0时，x的取值范围是 - 1 ≤ x ≤ 5。故答案为 - 1 ≤ x ≤ 5。